热门试卷

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量法求解，突出考查空间想象能力和计算能力.第一问，法一，先利用面面垂直的性质判断出，从而平面，所以垂直于面内的任意的线，由，判断是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空间向量法，通过证明，其它过程与法一相同；第二问，由第一问得到平面的法向量为，而平面的法向量需要计算求出，

，所以，最后用夹角公式求夹角余弦值.

试题解析：(1)解法一：因为面面平面面

为正方形，，平面

所以平面∴                2分

又，所以是等腰直角三角形，

且，即 ，

，且、面，

面            

又面，∴面面.          6分

解法二：

如图,

取的中点, 连结,.

∵,  ∴.

∵侧面底面,

平面平面, 

∴平面,

而分别为的中点,∴,

又是正方形,故.

∵,∴,.

以为原点,向量为轴建立空间直线坐标系,

则有,,,,,.

∵为的中点, ∴                     2分

(1)∵，，  ∴，

∴,从而,又,,

∴平面，而平面，

∴平面平面．                     6分

（2）由（1）知平面的法向量为，

设平面的法向量为，∵，

∴由，，可得

取，则故.

∴,

即二面角的余弦值为,        12分

(1) 见解析；（2）.

试题分析：(1)经过建立空间直角坐标系，求出面和各自的法向量，通过证明，说明面；（2）将直线与面所成角的正弦转化为直线所在向量和平面的法向量的夹角的余弦的绝对值求解.

试题解析：(1)证明：取的中点,,因为,所以,

所以以为坐标原点建立如图的空间直角坐标系，则,因为,所以,设面法向量为，则，令得，.所以，取面法向量为，因为，所以面.

(2) 解 ，设直线与平面所成角大小为，

则.

（1）详见解析；（2）；（3）.

试题分析：（1）以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o-xyz，求出向量，的坐标，代入数量积公式，验证其数量积与0的关系，即可得到结论．

（2）由PO=BC，得h=a，求出向量，的坐标，代入向量夹角公式，即可求出直线PD与AB所成的角；

（3）求出平面APB与平面PCD的法向量，根据平面APB与平面PCD所成的角为60°，构造关于h的方程，解方程即可得到的值．

试题解析：因为中点为点在平面内的射影，所以平面．过作的平行线交与点，则.

建立如图所示的空间直角坐标系    2分

（1）设，，则

,．

∴．

∵， ∴ .                         6分

（2）由，得，于是

∵，                                8分

∴，

∴直线PD与AB所成的角的余弦值为.                            10分

（3）设平面PAB的法向量为，可得，

设平面PCD的法向量为，

由题意得，

∵∴令，得到，       12分

∴，                                   14分

∵平面与平面所成的二面角为，∴，解得，

即．                                                    16分

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）证明直线平面，证明线面平行，首先证明线线平行，可用三角形的中位线平行，也可用平行四边形的对边平行，还可以利用面面平行的性质，本题由于分别为的中点，可得，，容易证明平面平面，可得直线平面；本题还可用向量法，由于底面,且底面为正方形,可以为原点,以分别为轴，建立空间坐标系，由题意写出各点的坐标，从而得，设平面的法向量为，求出一个法向量，计算出，即可；（2）求平面和平面的夹角，可用向量法，由（1）解法二可知平面的法向量，由题意可知：平面，故向量是平面的一个法向量,利用夹角公式即可求出平面和平面的夹角.

试题解析：（1）如图，以为原点,以为方向向量

建立空间直角坐标系

则.

.           4分

设平面的法向量为

即 令, 首发

则.                                    4分

又平面平面              6分

（2）底面是正方形,又平面 

又,平面。        8分

向量是平面的一个法向量,又由（1）知平面的法向量.                               10分

二面角的平面角为.                12分