热门试卷

（1）详见解析；（2）.

试题分析：解法一利用综合法证明解题：

（1）由已知可知AE⊥AB，又AE⊥AD，所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED，故有平面AEC⊥平面BED.

（2）如图4-1中，设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，即∠OEC为EC与平面BED所成的角.再设正方形边长为2，则OA=，AE=2，所以OE=，EC=，所以在三角形OEC中，利用余弦定理可得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=.

解法二利用向量法：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图4-2所示，

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2) (0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，从而有，，即BD⊥AC，BD⊥AE，所以BD⊥平面AEC，故平面BED⊥平面AEC.

（2）设平面BED的法向量为，由，得，故取    8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，则有 .

试题解析：解法一：

（1）由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，

所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，                    3分

又ABCD为正方形，所以DB⊥AC，                        4分

所以DB⊥平面AEC，而BD平面BED

故有平面AEC⊥平面BED.                                 6分

（2）设AC与BD交点为O，所以OE为两平面AEC和BED的交线.

过C作平面BED的垂线，其垂足必在直线EO上，

即∠OEC为EC与平面BED所成的角.      7分

设正方形边长为2，则OA=，AE=2，

所以OE=，EC=，       9分

所以在三角形OEC中，

由余弦定理得 cos∠OEC=，故所求为sin∠OEC=         12分

解法二：以A为原点，AE、AB、AD分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系．  1分

（1）设正方形边长为2，则E(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,2,2)，D(0,0,2)      2分

(0,2,2)，=(0,-2,2)，=(2,0,0)，=(-2,0,2)，

从而有，，

即BD⊥AC，BD⊥AE，

所以BD⊥平面AEC，

故平面BED⊥平面AEC.         6分

（2）设平面BED的法向量为，

由，得，故取    8分

而=(-2,2,2)，设直线EC与平面BED所成的角为，

则有                       12分

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）建立空间坐标,分别求出的坐标,利用数量积等于零即可；（Ⅱ）当为的中点时,求点到平面的距离,只需找平面的一条过点的斜线段在平面的法向量上的投影即可；（Ⅲ）设,因为平面的一个法向量为,只需求出平面的法向量,然后利用二面角为,根据夹角公式,求出即可.

试题解析：以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设,则,

（Ⅰ）,,故 ；

（Ⅱ）因为为的中点,则,从而, ,设平面的法向量为,则 也即,得,从而,所以点到平面的距离为 ；

（Ⅲ）设平面的法向量, 而, 由,即,得,依题意得: , ,解得 (不合,舍去),     ∴时,二面角的大小为.

(1) 异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为. (2)k=时,二面角O—PC—B的大小为

 ∵OP⊥平面ABC，又OA=OC，AB=BC，

从而OA⊥OB，OB⊥OP，OA⊥OP，

以O为原点，建立如图所示空间直角坐标系O—xyz.

（1）设AB=a，则PA=a，PO=a，

A（a，0，0），B（0，a，0），

C（-a，0，0），P（0，0，a），

则D（-a，0，a）.

∵=(a，0，-a )，=(-a，-a，a)，

∴cos〈,〉===-,

则异面直线PA与BD所成角的余弦值的大小为.

（2）设AB=a，OP=h，∵OB⊥平面POC，

∴=(0，a，0)为平面POC的一个法向量.

不妨设平面PBC的一个法向量为n=（x，y，z），

∵A(a，0，0)，B(0，a，0)，C(-a，0，0)，P(0，0，h)，

∴=(-a,- a,0),="(-" a,0,-h),

由

不妨令x=1，则y=-1，z=-，

即n="(1,-1,-" ),则cos=

==2+=4h=a,

∴PA===a,

而AB=kPA,∴k=.

故当k=时,二面角O—PC—B的大小为.

（Ⅰ）连接BD交AC于点，若∥平面，

则∥，点为BD中点，则为棱的中点……4分

（Ⅱ），，，，又

四边形为矩形，          ……5分

法（一）中点为坐标原点，以为轴，以为轴，

以为轴，如图建系

，设平面的法向量

，，不妨令，则       ……8分

，设平面的法向量

，不妨令则       ……11分

设二面角为，                    ……12分

法（二）

设二面角的平面角为，

取中点O，中点，

，

，             ……8分

同理设二面角的平面角为，

                         ……11分

设二面角为，，，     ……12分

略