热门试卷

（Ⅰ）证明：设，交于点，连接，易知为的中位线，

故，又平面，平面，得平面．

（Ⅱ）解：过做交于，过作交于,

由已知可知平面，，且,

过作交于,连接,由三垂线定理可知：为所求角

如图，平面,,由三垂线定理可知，

在中，斜边，，得,

在中，,得,由等面积原理得，B到CE边的高为

则;  在中，,则，

故：

法2建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,

（I）设平面的法向量为，

则即；推出即, 平面。

（II）,故

试题分析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则,,;,

（I）设平面的法向量为，

则即；即

令，则；又,故即,而平面所以平面。

（II）设平面的法向量为，,

则即；即

令，则；由题可知平面的法向量为

故,故

点评：中档题，立体几何题，是高考必考内容，往往涉及垂直关系、平行关系、角、距离、体积的计算。在计算问题中，有“几何法”和“向量法”。利用几何法，要遵循“一作、二证、三计算”的步骤，利用空间向量，省去繁琐的证明，也是解决立体几何问题的一个基本思路。对计算能力要求较高。

（1）详见解析；（2）．

试题分析：(1) 建立以为坐标原点，所在的直线分别为轴的空间直角坐标系，写出和的坐标，计算其数量积即可证明垂直；（2）取平面的法向量，利用向量和的数量积，计算向量和的夹角，转化为线面角．

试题解析：(1)建立以为坐标原点，所在的直线分别为轴的空间直角坐标系，

则,,,，

,，

，

．

（2）取平面ADS的一个法向量为,则

，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（1）见解析（2）存在

(1)证明:连接DC1，因为ABC-A1B1C1为正三棱柱，所以△ABC为正三角形，又因为D为AC的中点，所以BD⊥AC，又平面ABC⊥平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥DE.因为AE∶EA1＝1∶2，AB＝2，AA1＝，所以AE＝，AD＝1，所以在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，在Rt△DCC1中，∠C1DC＝60°，所以∠EDC1＝90°，即ED⊥DC1，又BD∩DC1＝D，所以ED⊥平面BDC1，BC1⊂面BDC1，所以ED⊥BC1.

(2)解　假设存在点E满足条件，设AE＝h.

取A1C1的中点D1，连接DD1，则DD1⊥平面ABC，所以DD1⊥AD，DD1⊥BD，分别以DA，DB，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0)，B(0，，0)，E(1,0，h)，所以＝(0，，0)，＝(1,0，h)，＝(－1，，0)，＝(0,0，h)，设平面DBE的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，

则，令z1＝1，得n1＝(－h,0,1)，同理，平面ABE的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则，∴n2＝(，1,0)．

∴cos〈n1，n2〉＝＝cos 60°＝.解得h＝<，故存在点E，当AE＝时，二面角D-BE-A等于60°.