热门试卷

解：（9,15,-12）-(4,2,16)=(5,13,-28)

(3,5,-4)(2,1,8)=6+5-32=-21

由

即当满足＝0即使与z轴垂直.

略

（1）通过余弦定理来证明AC⊥A1C，以及结合题目中的BC⊥A1C来得到证明。

（2）

试题分析：解：（1）证明：∵BC⊥侧面AA1C1C，A1C在面AA1C1C内，∴BC⊥A1C．  2分

在△AA1C中，AC=1，AA1=C1C=2，∠CAA1=，

由余弦定理得A1C2=AC2+-2AC•AA1cos∠CAA1=12+22-2×1×2×cos=3， 

∴A1C=   ∴AC2+A1C2=AA12   ∴AC⊥A1C                 5分

∴A1C⊥平面ABC．                                            6分

（2）由（Ⅰ）知，CA，CA1，CB两两垂直

∴如图，以C为空间坐标系的原点，分别以CA，CA1，CB所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则C(0，0，0)，B(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(0，，0)

由此可得D(，，0)，E(0，，0)，=（，，-1），=(0，，-1)．

设平面BDE的法向量为=(x，y，z)，则有令z=1，则x=0，y=

∴=(0，，1)          9分

∵A1C⊥平面ABC   ∴=(0，，0)是平面ABC的一个法向量        10分

∴    

∴平面BDE与ABC所成锐二面角的余弦值为．       12分

点评：主要是考查了空间中线面位置关系，以及二面角的平面角的求解的综合运用，属于中档题。

解（证明）（1）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥BC，AB⊥BD．

∵△BCD是正三角形，且AB＝BC＝a，∴AD＝AC＝．

设G为CD的中点，则CG＝，AG＝．

∴，，．

三棱锥D－ABC的表面积为．

（2）取AC的中点H，∵AB＝BC，∴BH⊥AC．

∵AF＝3FC，∴F为CH的中点．

∵E为BC的中点，∴EF∥BH．则EF⊥AC．

∵△BCD是正三角形，∴DE⊥BC．

∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥DE．

∵AB∩BC＝B，∴DE⊥平面ABC．∴DE⊥AC．

∵DE∩EF＝E，∴AC⊥平面DEF．

（3）存在这样的点N，

当CN＝时，MN∥平面DEF．

连CM，设CM∩DE＝O，连OF．

由条件知，O为△BCD的重心，CO＝CM．

∴当CF＝CN时，MN∥OF．∴CN＝．

略