直线的方向向量
共206题

· 直线的方向向量

直线的方向向量
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题型：简答题

简答题

如图，在长方体中，点分别在上，且，．

（1）求证：平面；

（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等，试根据上述定理，在时，求平面与平面所成角的大小．

正确答案

（1）证明见解析（2）平面与平面所成角的大小为

证明：（1）因为平面，

所以，平面，得．

同理可证．

因为，，所以平面．

解：（2）过作的垂线交于，

因为，所以平面．

设与所成角为，则即为平面与平面所成的角．

以点为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

又，

由，，

可得，．

因为与所成的角为，

所以，．

由定理知，平面与平面所成角的大小为．

题型：填空题

填空题

如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．

正确答案

平行

分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．

∵A1M＝AN＝a，

∴M，N，∴＝.

又C1(0,0,0)，D1(0，a,0)，

∴＝(0，a,0)，∴·＝0，∴⊥.

∵是平面BB1C1C的法向量，且MN⊄平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.

题型：简答题

简答题

如图,已知四棱锥的底面是正方形,侧棱底面,,是的中点．

(1)证明平面；

(2)求二面角的余弦值．

正确答案

解法一：(1)连结，设与交于点，连结.

∵底面ABCD是正方形，∴为的中点，又为的中点，

∴， ∵平面，平面，∴平面.

解法二：(1)以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则.

∴,设是平面的一个法向量,

则由

∵，∴, ，∴

(2) 由(1)知是平面BDE的一个法向量，又是平面的一个法向量.设二面角的平面角为，由题意可知.

∴.

本试题考查了同学们空间想象能力，以及对于空间中的线面平行的判定定理和二面角的求解运用。即可运用几何方法，也可以运用空间向量法来解决。

题型：简答题

简答题

如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中.

（Ⅰ）求的长；

（Ⅱ）求二面角E-FC1-C的余弦值.

正确答案

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则，

设.

∵为平行四边形，

（II）设为平面的法向量且

设二面角E-FC1-C为，则

题型：简答题

简答题

如图，正四棱柱ABCD－ABCD中，底面边长为2，侧棱长为4，点E、F分别为棱AB、BC的中点，EF∩BD=G，求点D到平面BEF的距离d。

正确答案

点D到平面EFB的距离为

如图，建立空间直角坐标系D－xyz。易得D（0，0，4），B（2，2，4），

E（2，，0），F（，2，0），

故＝（－，，0），＝（0，，4），＝（2，2，0），

设＝（x，y，z）是平面BEF的法向量，，令x＝1，得＝（1，1，－）。则｜·｜＝4，∴d=。

故点D到平面EFB的距离为。

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