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题型:填空题
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填空题

已知:={2,-3,1},={2,0,-2},={-1,-2,0},=2-3+,  则的坐标为______.

正确答案

=(2,-3,1),=(2,0,-2),=(-1,-2,0)

=2- 3+=2(2,-3,1)-3(2,0,-2)+(-1,-2,0)

=(4,-6,2)-(6,0,-6)+(-1,-2,0)

=(-3,-8,8)

故答案为:(-3,-8,8)

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题型:简答题
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简答题

(本小题满分14分)

一个几何体是由圆柱和三棱锥组合而成,点在圆的圆周上,其正(主)视图、侧(左)视图的面积分别为10和12,如图3所示,其中

(1)求证:

(2)求二面角的平面角的大小.

正确答案

(本小题主要考查空间线线、线面关系,二面角,三视图等知识,考查化归与转化数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.)

方法1:(1)证明:因为,所以,即

又因为,所以平面

因为,所以.………………………………………………………………4分

(2)解:因为点在圆的圆周上,且,所以为圆的直径.

设圆的半径为,圆柱高为,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

…………………………………………6分

解得

所以.………………………………………………………………………7分

过点于点,连接

由(1)知,,所以平面

因为平面,所以

所以为二面角的平面角.…………………………………………………………9分

由(1)知,平面平面

所以,即△为直角三角形.

中,,则

,解得

因为.…………………………………………………………………………13分

所以

所以二面角的平面角大小为.………………………………………………………14分

方法2:(1)证明:因为点在圆的圆周上,且,所以为圆的直径.

设圆的半径为,圆柱高为,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

…………………………………………2分

解得

所以.………………………………………………………………………3分

以点为原点,所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系,则

………………………5分

因为

所以

所以.…………………………………………………9分

(2)解:设是平面的法向量,因为

所以 

,则是平面的一个法向量.……………………………………………11分

由(1)知,,又,所以平面

所以是平面的一个法向量.……………………………………………………12分

因为

所以

等于二面角的平面角,

所以二面角的平面角大小为.………………………………………………………14分

方法3:(1)证明:因为,所以,即

又因为,所以平面

因为

所以.…………………………………………………………………………………………4分

(2)解:因为点在圆的圆周上,且,所以为圆的直径.

设圆的半径为,圆柱高为,根据正(主)视图、侧(左)视图的面积可得,

…………………………………………6分

解得

所以.………………………………………………………………………7分

以点为原点,所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系,则

…………………………9分

是平面的法向量,

 

,则是平面的一个法向量.………11分

由(1)知,,又

所以平面

所以是平面的一个法向量.……………………………………………………12分

因为

所以

等于二面角的平面角,

所以二面角的平面角大小为.………………………………………………………14分

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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥的底面是正方形,平面上的点,且.

(1)证明:

(2)若,求二面角的余弦值.

正确答案

(1)详见解析;(2)二面角的余弦值为.

试题分析:(1)要证,先证平面,则要证明垂直于平面内的两条相交直线,先由正方形的对角线互相垂直得到,再由平面,得到,结合直线与平面垂直的判定定理得到平面,从而得到;(2)以为原点,所在的直线为轴建立空间直角坐标系,利用空间向量法求二面角的余弦值.

试题解析:(1)∵平面,∴

∵底面是正方形,∴,∴平面

平面,∴.

(2)以为原点,所在的直线为轴建立空间直角坐标系.

,则,因为

易知,

所以

设平面的法向量为,则

,令,得,同理可取平面的法向量

所以,所以二面角的余弦值为.

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题型:填空题
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填空题

已知A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则上的投影为______.

正确答案

∵A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),

=(4,-5,0),

=(0,4,-3),

上的投影=||cos<

=×

=-4.

故答案为:-4.

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题型:简答题
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简答题

如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCDPDDCEPC的中点.

(1)证明:PA∥平面BDE

(2)求二面角B-DE-C的余弦值.

正确答案

(1)见解析(2)

(1)连接ACBD于点O,连接OE;在△CPA中,EO分别是边CPCA的中点,∴OEPA,而OE⊂平面BDEPA⊄平面BDE,∴PA∥平面BDE.

(2)如图建立空间直角坐标系,设PDDC=2.

A(2,0,0),P(0,0,2),E(0,1,1),

B(2,2,0),=(0,1,1),=(2,2,0).,

n=(xyz)是平面BDE的一个法向量,则由

y=-1,得n=(1,-1,1),又=(2,0,0)是平面DEC的一个法向量.

∴cos〈n〉=.

故结合图形知二面角B-DE-C的余弦值为

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