热门试卷

（本小题主要考查空间线线、线面关系，二面角，三视图等知识，考查化归与转化数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力．）

方法1：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，所以．………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

过点作于点，连接，

由（1）知，，，所以平面．

因为平面，所以．

所以为二面角的平面角．…………………………………………………………9分

由（1）知，平面，平面，

所以，即△为直角三角形．

在△中，，，则．

由，解得．

因为．…………………………………………………………………………13分

所以．

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法2：（1）证明：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………2分

解得

所以，．………………………………………………………………………3分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

………………………5分

因为，

所以．

所以．…………………………………………………9分

（2）解：设是平面的法向量，因为，

所以即 

取，则是平面的一个法向量．……………………………………………11分

由（1）知，，又，，所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

方法3：（1）证明：因为，，所以，即．

又因为，，所以平面．

因为，

所以．…………………………………………………………………………………………4分

（2）解：因为点、、在圆的圆周上，且，所以为圆的直径．

设圆的半径为，圆柱高为，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，

…………………………………………6分

解得

所以，．………………………………………………………………………7分

以点为原点，、所在的射线分别为轴、轴建立如图的空间直角坐标系，则，，，，，，．

…………………………9分

设是平面的法向量，

则即 

取，则是平面的一个法向量．………11分

由（1）知，，又，，

所以平面．

所以是平面的一个法向量．……………………………………………………12分

因为，

所以．

而等于二面角的平面角，

所以二面角的平面角大小为．………………………………………………………14分

略

（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要证，先证平面，则要证明垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到，再由平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面，∴，

∵底面是正方形，∴，∴平面，

∵平面，∴.

（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．

设，则，，因为，

易知，，,，，

所以，，，

设平面的法向量为，则，，

即，令，得，同理可取平面的法向量，

所以，所以二面角的余弦值为.