热门试卷

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角的余弦值为．

试题分析：（Ⅰ）求证：平面平面，证明两个平面垂直，只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可，由长方体的性质，易证平面，从而可证平面平面；（Ⅱ）若点为棱的中点，点为棱的中点，求二面角的余弦值，求二面角问题，可用传统方法，找二面角的平面角，但本题不易找，另一种方法，用向量法，本题因为是长方体，容易建立空间坐标系，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，利用向量的运算，求出向量，即可求出二面角的余弦值．

试题解析：（Ⅰ）为正方形                      2分

平面                         4分

又，平面  平面平面      6分

（Ⅱ）建立以为轴，以为轴，以为轴的空间直角坐标系     7分

设平面的法向量为，

                    9分

设平面的法向量为，

                      11分

                             13分

二面角的余弦值为                     14分

（1）证明过程详见解析；（2）．

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力．第一问，连结OC，由于为等腰三角形，O为AB的中点，所以，利用面面垂直的性质，得平面ABEF，利用线面垂直的性质得，由线面垂直的判定得平面OEC，所以，所以线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得；第二问，利用向量法，先建立空间直角坐标系，求出平面FCE和平面CEB的法向量，再利用夹角公式求二面角的余弦值，但是需要判断二面角是锐角还是钝角．

试题解析：（1）证明：连结OC，因AC=BC，O是AB的中点，故．

又因平面ABC平面ABEF，故平面ABEF，     2分

于是．又，所以平面OEC，所以，     4分

又因，故平面，所以．     6分

（2）由（1），得，不妨设，，取EF的中点D，以O为原点，OC，OB，OD所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，设，则，

在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，

则从而设平面的法向量，由，得，                    9分

同理可求得平面的法向量，设的夹角为，则，由于二面角为钝二面角，则余弦值为                            13分

（1）参考解析；（2）；（3），

试题分析：（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.

（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.

（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，

因为△是正三角形，所以.

因为四边形是直角梯形，，，

所以四边形是平行四边形，，

又，所以 .

所以平面，

所以.

（2）解：因为平面平面，

，所以平面，

所以.

如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

所以 ,，

设平面的法向量为，则

，

令，则,.所以.

同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则

.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

（3）解：设，因为，

所以，,.

依题意即

解得 ，.

符合点在三角形内的条件.

所以，存在点，使平面，此时.

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.

（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.

试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，

所以，

又，

即.

如图所示，建立空间直角坐标系.

,,,，

所以 ，，

.

又因为 ，，

所以 ，，平面.

（2）解：由（1）知，是平面的法向量，

，

则 .

设直线与平面所成的角为， 则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.