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题型:简答题
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简答题

已知在长方体中,点为棱上任意一点,.

(Ⅰ)求证:平面平面

(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值.

正确答案

(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为

试题分析:(Ⅰ)求证:平面平面,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,由长方体的性质,易证平面,从而可证平面平面;(Ⅱ)若点为棱的中点,点为棱的中点,求二面角的余弦值,求二面角问题,可用传统方法,找二面角的平面角,但本题不易找,另一种方法,用向量法,本题因为是长方体,容易建立空间坐标系,以轴,以轴,以轴建立空间直角坐标系,分别设出两个平面的法向量,利用向量的运算,求出向量,即可求出二面角的余弦值.

试题解析:(Ⅰ)为正方形                      2分

平面                         4分

平面  平面平面      6分

(Ⅱ)建立以轴,以轴,以轴的空间直角坐标系     7分

设平面的法向量为

                    9分

设平面的法向量为

                      11分

                             13分

二面角的余弦值为                     14分

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题型:简答题
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简答题

如图,平面平面,四边形为矩形,的中点,

(1)求证:

(2)若时,求二面角的余弦值.

正确答案

(1)证明过程详见解析;(2)

试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,连结OC,由于为等腰三角形,O为AB的中点,所以,利用面面垂直的性质,得平面ABEF,利用线面垂直的性质得,由线面垂直的判定得平面OEC,所以,所以线面垂直的判定得平面,最后利用线面垂直的性质得;第二问,利用向量法,先建立空间直角坐标系,求出平面FCE和平面CEB的法向量,再利用夹角公式求二面角的余弦值,但是需要判断二面角是锐角还是钝角.

试题解析:(1)证明:连结OC,因AC=BC,O是AB的中点,故

又因平面ABC平面ABEF,故平面ABEF,     2分

于是.又,所以平面OEC,所以,     4分

又因,故平面,所以.     6分

(2)由(1),得,不妨设,取EF的中点D,以O为原点,OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设,则

在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,

从而设平面的法向量,由,得,                    9分

同理可求得平面的法向量,设的夹角为,则,由于二面角为钝二面角,则余弦值为                            13分

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题型:简答题
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简答题

如图所示,四边形为直角梯形,为等边三角形,且平面平面中点.

(1)求证:

(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值;

(3)在内是否存在一点,使平面,如果存在,求的长;如果不存在,说明理由.

正确答案

(1)参考解析;(2);(3)

试题分析:(1)根据题意,由于三角形ABE是等边三角形,所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标,表示出向量AB与向量DE,并求出两个向量的数量积为零,所以两个向量垂直,及对应的两条直线垂直.

(2)平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量,再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.

(3)用待定系数的方法,假设存在该点Q,要满足平面,只需要向量PQ,与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可,从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.

试题解析:(1)证明:取中点,连结

因为△是正三角形,所以.

因为四边形是直角梯形,

所以四边形是平行四边形,

,所以 .

所以平面

所以.

(2)解:因为平面平面

,所以平面

所以.

如图所示,以为原点建立空间直角坐标系.

.

所以 ,

设平面的法向量为,则

,则,.所以.

同理求得平面的法向量为,设平面与平面所成的锐二面角为,则

.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

(3)解:设,因为

所以,.

依题意

解得 .

符合点在三角形内的条件.

所以,存在点,使平面,此时.

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题型:简答题
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简答题

如图,在直三棱柱中,中点.

(1)求证:平面

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(1)参考解析;(2)

试题分析:(1)直线与平面垂直的证明,对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法,所以根据题意建立坐标系后,写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.

(2)证明直线与平面所成的角的正弦值,主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值,再通过两角的互余关系转化为正弦值.

试题解析:(1)证明:因为是直三棱柱,

所以

.

如图所示,建立空间直角坐标系.

,,,

所以

.

又因为

所以 平面.

(2)解:由(1)知,是平面的法向量,

.

设直线与平面所成的角为, 则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥中,底面是边长为1的菱形,底面的中点,的中点,,如图建立空间直角坐标系.

(1)求出平面的一个法向量并证明平面

(2)求二面角的余弦值.

正确答案

(1)证明详见解析;(2).

试题分析:这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.(1)先确定的坐标,然后设出平面的一个法向量为,由确定的一个取值,最后验证,即可作出平面的判断;(2)先找到的一个法向量为,然后计算,最后结合图形,确定二面角的余弦值是,还是.

试题解析:由题设知:在中,

  4分

(1)    5分

    6分

设平面的一个法向量为

,得    8分

平面           10分

(2)由(1)得平面的法向量,平面的一个法向量为   12分

设二面角的平面角为,则

即二面角的余弦值为           14分.

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