- 直线的方向向量
- 共206题
已知在长方体中,点
为棱
上任意一点,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若点为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值.
正确答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)二面角的余弦值为
.
试题分析:(Ⅰ)求证:平面平面
,证明两个平面垂直,只需证明一个平面过另一个平面的垂线即可,由长方体的性质,易证
平面
,从而可证平面
平面
;(Ⅱ)若点
为棱
的中点,点
为棱
的中点,求二面角
的余弦值,求二面角问题,可用传统方法,找二面角的平面角,但本题不易找,另一种方法,用向量法,本题因为是长方体,容易建立空间坐标系,以
为
轴,以
为
轴,以
为
轴建立空间直角坐标系,分别设出两个平面的法向量,利用向量的运算,求出向量,即可求出二面角
的余弦值.
试题解析:(Ⅰ)为正方形
2分
平面
4分
又,
平面
平面
平面
6分
(Ⅱ)建立以为
轴,以
为
轴,以
为
轴的空间直角坐标系 7分
设平面的法向量为
,
9分
设平面的法向量为
,
11分
13分
二面角
的余弦值为
14分
如图,平面平面
,四边形
为矩形,
.
为
的中点,
.
(1)求证:;
(2)若时,求二面角
的余弦值.
正确答案
(1)证明过程详见解析;(2).
试题分析:本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、向量法等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问,连结OC,由于为等腰三角形,O为AB的中点,所以
,利用面面垂直的性质,得
平面ABEF,利用线面垂直的性质得
,由线面垂直的判定得
平面OEC,所以
,所以线面垂直的判定得
平面
,最后利用线面垂直的性质得
;第二问,利用向量法,先建立空间直角坐标系,求出平面FCE和平面CEB的法向量,再利用夹角公式求二面角的余弦值,但是需要判断二面角是锐角还是钝角.
试题解析:(1)证明:连结OC,因AC=BC,O是AB的中点,故.
又因平面ABC平面ABEF,故
平面ABEF, 2分
于是.又
,所以
平面OEC,所以
, 4分
又因,故
平面
,所以
. 6分
(2)由(1),得,不妨设
,
,取EF的中点D,以O为原点,OC,OB,OD所在的直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设
,则
,
在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,
则从而
设平面
的法向量
,由
,得
, 9分
同理可求得平面的法向量
,设
的夹角为
,则
,由于二面角
为钝二面角,则余弦值为
13分
如图所示,四边形为直角梯形,
,
,
为等边三角形,且平面
平面
,
,
为
中点.
(1)求证:;
(2)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值;
(3)在内是否存在一点
,使
平面
,如果存在,求
的长;如果不存在,说明理由.
正确答案
(1)参考解析;(2);(3)
,
试题分析:(1)根据题意,由于三角形ABE是等边三角形,所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标,表示出向量AB与向量DE,并求出两个向量的数量积为零,所以两个向量垂直,及对应的两条直线垂直.
(2)平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量,再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.
(3)用待定系数的方法,假设存在该点Q,要满足平面
,只需要向量PQ,与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可,从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.
试题解析:(1)证明:取中点
,连结
,
因为△是正三角形,所以
.
因为四边形是直角梯形,
,
,
所以四边形是平行四边形,
,
又,所以
.
所以平面
,
所以.
(2)解:因为平面平面
,
,所以
平面
,
所以.
如图所示,以为原点建立空间直角坐标系.
则,
,
,
,
.
所以 ,
,
设平面的法向量为
,则
,
令,则
,
.所以
.
同理求得平面的法向量为
,设平面
与平面
所成的锐二面角为
,则
.
所以平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
(3)解:设,因为
,
所以,
,
.
依题意即
解得 ,
.
符合点在三角形
内的条件.
所以,存在点,使
平面
,此时
.
如图,在直三棱柱中,
,
,
是
中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
正确答案
(1)参考解析;(2)
试题分析:(1)直线与平面垂直的证明,对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法,所以根据题意建立坐标系后,写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.
(2)证明直线与平面所成的角的正弦值,主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值,再通过两角的互余关系转化为正弦值.
试题解析:(1)证明:因为是直三棱柱,
所以,
又,
即.
如图所示,建立空间直角坐标系.
,
,
,
,
所以 ,
,
.
又因为 ,
,
所以 ,
,
平面
.
(2)解:由(1)知,是平面
的法向量,
,
则 .
设直线与平面
所成的角为
, 则
.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
如图,在四棱锥中,底面
是边长为1的菱形,
,
底面
,
,
为
的中点,
为
的中点,
于
,如图建立空间直角坐标系.
(1)求出平面的一个法向量并证明
平面
;
(2)求二面角的余弦值.
正确答案
(1)证明详见解析;(2).
试题分析:这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.(1)先确定、
、
的坐标,然后设出平面
的一个法向量为
,由
确定
的一个取值,最后验证
,即可作出
平面
的判断;(2)先找到
的一个法向量为
,然后计算
,最后结合图形,确定二面角
的余弦值是
,还是
.
试题解析:由题设知:在中,
、
、
、
4分
(1) 5分
,
6分
设平面的一个法向量为
则
令,得
8分
∵
∴平面
10分
(2)由(1)得平面的法向量
,平面
的一个法向量为
12分
设二面角的平面角为
,则
即二面角的余弦值为
14分.
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