- 直线的方向向量
- 共206题
(本小题共14分)
正方体的棱长为
,
是
与
的交点,
是
上一点,且
.(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求异面直线与
所成角的余弦值;
(Ⅲ)求直线与平面
所成角的正弦值.
正确答案
(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
(Ⅰ)如图,以为原点建立空间直
角坐标系
.
则,
,
,
,
∴,
,
.
,
又与
交于
点
,
∴平面
.------------4分
(Ⅱ)设与
所成的角为
.
,
,
.
∴,
.
∴.
所求异面直线与
所成角的余弦值为
.---------------9分
(Ⅲ)设平面与直线
所成的角为
.
设平面的法向量为
.
,
,
,
,
.
令,则
.
.
所求平面
与直线
所成角的正弦值为
.--------------------14分
如图,在四棱锥中,
⊥平面
,底面
为梯形,
∥
,
⊥
,
,点
在棱
上,且
.
(1)当时,求证:
∥面
;
(2)若直线与平面
所成角为
,求实数
的值.
正确答案
(1)证明过程见试题解析;(2)实数的值为
.
试题分析:(Ⅰ)连接BD交AC于点M,连结ME, 先证明,再证明
∥面
;
先以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系, 求出各点的坐标,再求出平面的一个法向量为
, 而已知直线
与平面
所成角为
,进而可求实数
的值.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接BD交AC于点M,连结ME,
因∥
,当
时
,
.
则∥面
. 4分
(Ⅱ)由已知可以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则,
由,可得E点的坐标为
6分
所以.
设平面的一个法向量为
,则
,设
,则
,
,所以
8分
若直线与平面
所成角为
,
则, 9分
解得 10分
如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AD=PD.
(1)求证:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)若二面角Q-BP-C的余弦值为-,求
的值.
正确答案
(1)见解析(2)1
(1)证明:设AD=1,则DQ=,DP=2,又∵PD∥QA,∴∠PDQ=∠AQD=45°,在△DPQ中,由余弦定理可得PQ=
.
∴DQ2+PQ2=DP2,∴PQ⊥DQ,又∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DC,∵CD⊥DA,DA∩PD=D,∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ,∴CD⊥PQ,又∵CD∩DQ=D,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)解 如图,以D为坐标原点,DA,DP,DC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.
设AD=1,AB=m(m>0).
依题意有D(0,0,0),C(0,0,m),P(0,2,0),Q(1,1,0),B(1,0,m),则=(1,0,0),
=(-1,2,-m),
=(1,-1,0),
设n1=(x1,y1,z1)是平面PBC的法向量,则即
因此可取n1=(0,m,2).
设n2=(x2,y2,z2)是平面PBQ的法向量,则即
可取n2=(m,m,1).
又∵二面角Q-BP-C的余弦值为-,∴|cos 〈n1,n2〉|=|-
|.
∴=
,整理得m4+7m2-8=0.
又∵m>0,解得m=1.因此,所求的值为1
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,D是BC的中点.
(1)求证:A1B∥平面ADC1;
(2)若AB=BB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值.
正确答案
(1)见解析(2)
(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以四边形A1ACC1是矩形.连接A1C交AC1于O,则O是A1C的中点,又D是BC的中点,所以在△ADC1中,OD∥A1B,因为A1B⊄平面ADC1,OD⊂平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.
(2)解:因为△ABC是等边三角形,D是BC的中点,所以AD⊥BC.以D为原点,建立如图所示空间坐标系D-xyz.由已知AB=BB1=2,得D(0,0,0),A(,0,0),A1(
,0,2),C1(0,-1,2).
则=(
,0,0),
=(0,-1,2),设平面AC1D的法向量为n=(x,y,z),由
得
取z=1,则x=0,y=2,
∴n=(0,2,1),又=(
,0,2),∴cos〈
,n〉=
=
,设A1D与平面ADC1所成角为θ,
则sin θ=|cos〈,n〉|=
,
故A1D与平面ADC1所成角的正弦值为.
如图,平面平面
,
是等腰直角三角形,
,四边形
是直角梯形,
,
,
,点
、
分别为
、
的中点.
(1)求证:平面
;
(2)求直线和平面
所成角的正弦值;
(3)能否在上找到一点
,使得
平面
?若能,请指出点
的位置,并加以证明;若不能,请说明理由 .
正确答案
(1)见解析;(2);(3)见解析.
试题分析:(1)先建立空间直角坐标系,利用法向量证明OD//平面ABC,说明和平面ABC的法向量
垂直即可;(2)设直线CD与平面ODM所成角为θ,求出平面ODM法向量
,则
;(3)设EM上一点N满足,
平面ABDE法向量
,
不存在
使
∴ 不存在满足题意的点N.
试题解析:以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系
,
,
,
,
,
(1)平面ABC的法向量,
,
∴OD//平面ABC
(2)设平面ODM法向量为,直线CD与平面ODM所成角为θ
,
,∴
,
∴.
(3)设EM上一点N满足,
平面ABDE法向量,
不存在使
∴不存在满足题意的点N.
(传统方法参照给分)
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