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题型:简答题
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简答题

(本小题共14分)

正方体的棱长为的交点,上一点,且.(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求异面直线所成角的余弦值;

(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.

正确答案

(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)

(Ⅰ)如图,以为原点建立空间直角坐标系

交于

平面.------------4分

(Ⅱ)设所成的角为

所求异面直线所成角的余弦值为.---------------9分

(Ⅲ)设平面与直线所成的角为

设平面的法向量为

,则

所求平与直线所成角的正弦值为.--------------------14分

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题型:简答题
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简答题

如图,在四棱锥中,⊥平面,底面为梯形,,点在棱上,且

(1)当时,求证:∥面

(2)若直线与平面所成角为,求实数的值.

正确答案

(1)证明过程见试题解析;(2)实数的值为.

试题分析:(Ⅰ)连接BD交AC于点M,连结ME, 先证明,再证明∥面

先以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系, 求出各点的坐标,再求出平面的一个法向量为, 而已知直线与平面所成角为,进而可求实数的值.

试题解析:(Ⅰ)证明:连接BD交AC于点M,连结ME,

,当,

.

∥面.                             4分

(Ⅱ)由已知可以A为坐标原点,分别以AB,AP为y轴,Z轴建立空间直角坐标系,设DC=2,则,

,可得E点的坐标为               6分

所以.

设平面的一个法向量为,则,设,则,,所以                                8分

若直线与平面所成角为,

,                            9分

解得                               10分

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题型:简答题
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简答题

如图,四边形ABCD为矩形,PD⊥平面ABCDPDQAQAADPD.

(1)求证:平面PQC⊥平面DCQ

(2)若二面角Q-BP-C的余弦值为-,求的值.

正确答案

(1)见解析(2)1

(1)证明:设AD=1,则DQDP=2,又∵PDQA,∴∠PDQ=∠AQD=45°,在△DPQ中,由余弦定理可得PQ.

DQ2PQ2DP2,∴PQDQ,又∵PD⊥平面ABCD,∴PDDC,∵CDDADAPDD,∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ,∴CDPQ,又∵CDDQD,∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.

(2)解 如图,以D为坐标原点,DADPDC所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz.

AD=1,ABm(m>0).

依题意有D(0,0,0),C(0,0,m),P(0,2,0),Q(1,1,0),B(1,0,m),则=(1,0,0),=(-1,2,-m),=(1,-1,0),

n1=(x1y1z1)是平面PBC的法向量,则

因此可取n1=(0,m,2).

n2=(x2y2z2)是平面PBQ的法向量,则

可取n2=(mm,1).

又∵二面角Q-BP-C的余弦值为-,∴|cos 〈n1n2〉|=|-|.

,整理得m4+7m2-8=0.

又∵m>0,解得m=1.因此,所求的值为1

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简答题

如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC是等边三角形,DBC的中点.

(1)求证:A1B∥平面ADC1

(2)若ABBB1=2,求A1D与平面AC1D所成角的正弦值.

正确答案

(1)见解析(2)

(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以四边形A1ACC1是矩形.连接A1CAC1O,则OA1C的中点,又DBC的中点,所以在△ADC1中,ODA1B,因为A1B⊄平面ADC1OD⊂平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.

(2)解:因为△ABC是等边三角形,DBC的中点,所以ADBC.以D为原点,建立如图所示空间坐标系D-xyz.由已知ABBB1=2,得D(0,0,0),A(,0,0),A1(,0,2),C1(0,-1,2).

=(,0,0),=(0,-1,2),设平面AC1D的法向量为n=(xyz),由

z=1,则x=0,y=2,

n=(0,2,1),又=(,0,2),∴cos〈n〉=,设A1D与平面ADC1所成角为θ

则sin θ=|cos〈n〉|=

A1D与平面ADC1所成角的正弦值为.

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题型:简答题
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简答题

如图,平面平面是等腰直角三角形,,四边形是直角梯形,,点分别为的中点.

(1)求证:平面

(2)求直线和平面所成角的正弦值;

(3)能否在上找到一点,使得平面?若能,请指出点的位置,并加以证明;若不能,请说明理由 .

正确答案

(1)见解析;(2);(3)见解析.

试题分析:(1)先建立空间直角坐标系,利用法向量证明OD//平面ABC,说明和平面ABC的法向量垂直即可;(2)设直线CD与平面ODM所成角为θ,求出平面ODM法向量,则;(3)设EM上一点N满足, 平面ABDE法向量不存在使 ∴ 不存在满足题意的点N.

试题解析:以B为原点,BC为x轴,BA为y轴,BD为z轴,建立空间直角坐标系

(1)平面ABC的法向量

∴OD//平面ABC

(2)设平面ODM法向量为,直线CD与平面ODM所成角为θ

,∴

.

(3)设EM上一点N满足,

平面ABDE法向量

不存在使 ∴不存在满足题意的点N.

(传统方法参照给分)

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