热门试卷

（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0），

………3分

………6分

（Ⅱ）①

…10分

②∵，为平面SBC的法向量，

略

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）依题意，设与的交点，说明为的中位线，//，从而//；(Ⅱ) 用定义法与向量法求解，用定义法，必须作出二面角的平面角，在利用相似三角形对应边成比例及直角三角形中三角函数的定义求解；用向量法，需要建立恰当的空间直角坐标系，本题以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系最佳，求平面的法向量与平面的一个法向量为， 利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）证明： 连接，设与相交于点，连接，

∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点．

∵为的中点，∴为的中位线，

∴//，             2分

∵，

∴//．          4分

(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 则平面，故，

又, 且，

∴ ．               6分

取的中点，连接，则//，且 ．

∴ ．

作，垂足为，连接，由于，且，

∴，∴ ．

∴为二面角的平面角．    9分

由∽，得，得，

在中，．

∴ 二面角的余弦值为．      12分

(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 则平面，故，

又, 且，∴．            6分

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．则，，，，， 

∴， ，

求得平面的法向量为，

又平面的一个法向量为，

∴  .    

∴ 二面角的余弦值为.    12分

（Ⅰ）见解析；

（II）当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）通过连接，应用三角形的中位线定理得到证明得到 面．

（II）利用空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，而平面的法向量，得到，确定出点在线段的中点时，二面角的余弦值为.解答此类问题，要注意发现垂直关系，建立适当地直角坐标系，以简化解题过程.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，

由三角形的中位线定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如图空间直角坐标系，

在中，斜边,得，所以，.

设，得.

设平面的一个法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由题意，即，

解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

（1），（2）

试题分析：法一：空间向量法。（1）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标，再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量所成角的余弦值，但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角，所以两异面和所成角的余弦值为向量所成角的余弦值的绝对值。（2）根据题意设，根据，可得的值，根据比例关系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根据异面直线所成角的定义可过点作//交于，则（或其补角）就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形，则，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，过作，为垂足。易得证平面，可得，从而易得证//，可得，即可求的值。

试题解析：解法一：

（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，

则故

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设

在平面内过点作，为垂足，则

，∴

解法二：

（1）在平面内，过点作//交于，连结，则（或其补角）就是异面直线与所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（2）在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.