热门试卷

（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

（2）

试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，

故.

取中点连结， 则， 又面面，

面面， 面， 从而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ，，

.

设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.

又为面的一个法向量，∴.

∴二面角的余弦值为.

（法二）如图，取的中点，的中点，连结.

易知，又，，又，.

又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值为.

点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

（2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:（1）因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.

（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,

,, 

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为

略

（1）对于线面垂直的证明，一般要通过线线垂直来分析证明，关键是对于，

（2）3

试题分析：解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 

5分 

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.

法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.                                      13分

法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.

点评：主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明，以及二面角的平面角的求解，属于中档题。

（1）证明详见解析；（2）30°；（3）存在  SE∶EC=2∶1

试题分析：（1）设AC交BD于O,以 、、分别为S,D,C,

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系，则S,D,C,

求出，的坐标，并计算得到·=0，从而AC⊥SD.（2）为平面PAC的一个法向量，

为平面DAC的一个法向量，向量与的夹角等于二面角PACD的平面角，根据向量的夹角公式计算出与的夹角即可.（3）假设存在一点E使BE∥平面PAC，设=t(0≤t≤1),则=+=+t,因为·=0，可建立关于t的等式，解之即可.

试题解析：(1)证明:连接BD,设AC交BD于O,

由题意知SO⊥平面ABCD,以O为坐标原点,、、分别为

x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.

设底面边长为a,，则高SO=a.于是S,D,C,

=,=,·=0,故OC⊥SD,从而AC⊥SD.  4分

(2)解:由题设知,平面PAC的一个法向量为=,

平面DAC的一个法向量为=,则cos<,>==,

故所求二面角的大小为30°. 8分

(3)解:在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC.，由(2)知是平面PAC的一个法向量,

且=,=,        设=t(0≤t≤1),

=+=+t=,而·=0t=,

即当SE∶EC=2∶1时,BE∥平面PAC.          12分