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题型:简答题
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简答题

四棱锥中,底面为平行四边形,侧面,已知

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)在SB上选取点P,使SD//平面PAC ,并证明;

(Ⅲ)求直线与面所成角的正弦值。

正确答案

(1)(2)详见试题解析; 

试题分析:(Ⅰ)要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形,利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系(Ⅱ)要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线,即平面 与平面交线 , 注意到为中点的特点,即可导致,从而推出线面平行 (Ⅲ)建立空间直角坐标系,确定关键点的坐标,再运用空间向量进行运算.

试题解析:(Ⅰ)证明:连接AC,

由余弦定理得  2分

中点,连接,则.

 

       4分

(Ⅱ)当的中点时,

证明:连接 ,在中,  ,又 平面 ,

平面面 平面.  7分

(3)如图,以射线OA为X轴,以射线OB为轴,以射线OS为轴,以为原点,建立空间直角坐标系,则

      

9分

设平面法向量为

,则

   11分   

所以直线与面所成角的正弦值为12分

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题型:简答题
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简答题

(理)如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中

(1)求证:

(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角的余弦值;

正确答案

(1)以轴,轴,轴建立空间直角坐标系, ∴ ∴

 , 即(2)

试题分析:以轴,轴,轴建立空间直角坐标系

(1)证明:设E是BD的中点,P—ABCD是正四棱锥,

 

, ∴ ∴

 , 即.

(2)解:设平面PAD的法向量是

 

   取

又平面的法向量是

  , ∴.

点评:要证两直线垂直只需证明两直线的方向向量数量积为0,求二面角时首先找到两个半平面对应的法向量,求出法向量夹角,进而转化为平面角

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题型:简答题
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简答题

已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△,使得平面⊥平面ABD.

(Ⅰ)求证:平面ABD;

(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

正确答案

(Ⅰ)先证 (Ⅱ) (Ⅲ)

试题分析:(Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,

.          

∵平面⊥平面,平面平面=平面

平面.        

(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且

如图,以D为原点,建立空间直角坐标系.            

∵E是线段AD的中点,

在平面中,

设平面法向量为

,即

,得,故.            

设直线与平面所成角为,则

.           

∴直线与平面所成角的正弦值为.              

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为

而平面的法向量为

因为二面角为锐角,

所以二面角的余弦值为

点评:本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角,以及翻折问题,学生必须要掌握在翻折的过程中,哪些是不变的,哪些是改变,这也是解决此类问题的关键.

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题型:简答题
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简答题

如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,

OE∥AD.

(1)求二面角B-AD-F的大小;

(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.

正确答案

(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为

 (1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,

∴AD⊥AB,AD⊥AF,

故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.

依题意可知,ABFC是正方形,

∴∠BAF=45°.

即二面角B—AD—F的大小为45°;

(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),

则O(0,0,0),

A(0,-3,0),B(3,0,0),D(0,-3,8),

E(0,0,8),F(0,3,0),

=(-3,-3,8),=(0,3,-8).

cos〈,〉= ==-.

设异面直线BD与EF所成角为,则

cos=|cos〈,〉|=.

即直线BD与EF所成的角的余弦值为.

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题型:简答题
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简答题

如图,正方体的棱长为分别是的中点.

⑴求多面体的体积;

⑵求与平面所成角的余弦值.

正确答案

(1)

(2)

试题分析:⑴……1分,……2分,……3分,所以,多面体的体积……4分

⑵以为原点,分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系……5分,则……6分,设平面的一个法向量为,则……8分,即

9分,取,则……10分,  11分, 12分,

与平面所成角的余弦值  13分。

点评:主要是考查了线面角的求解以及锥体体积的求解,属于中档题。

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