- 直线的方向向量
- 共206题
四棱锥中,底面
为平行四边形,侧面
面
,已知
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)在SB上选取点P,使SD//平面PAC ,并证明;
(Ⅲ)求直线与面
所成角的正弦值。
正确答案
(1)(2)详见试题解析;
试题分析:(Ⅰ)要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及
是等腰三角形,利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系(Ⅱ)要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线,即平面
与平面
交线
, 注意到
为中点的特点,即可导致
∥
,从而推出线面平行 (Ⅲ)建立空间直角坐标系,确定关键点
的坐标,再运用空间向量进行运算.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接AC,
,
由余弦定理得,
2分
取中点
,连接
,则
.
面
4分
(Ⅱ)当为
的中点时,
面
证明:连接 ,在
中,
∥
,又
平面
,
平面面
,
平面
. 7分
(3)如图,以射线OA为X轴,以射线OB为轴,以射线OS为
轴,以
为原点,建立空间直角坐标系
,则
.
,
9分
设平面法向量为
有令
,则
,
11分
所以直线与面
所成角的正弦值为
12分
(理)如图,P—ABCD是正四棱锥,是正方体,其中
(1)求证:;
(2)求平面PAD与平面所成的锐二面角
的余弦值;
正确答案
(1)以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系
, ∴
∴
∴
∴ , 即
(2)
试题分析:以为
轴,
为
轴,
为
轴建立空间直角坐标系
(1)证明:设E是BD的中点,P—ABCD是正四棱锥,
∴
又, ∴
∴
∴
∴ , 即
.
(2)解:设平面PAD的法向量是,
∴ 取
得
,
又平面的法向量是
∴ , ∴
.
点评:要证两直线垂直只需证明两直线的方向向量数量积为0,求二面角时首先找到两个半平面对应的法向量,求出法向量夹角,进而转化为平面角
已知平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,E是线段AD的中点.沿BD将△BCD翻折到△,使得平面
⊥平面ABD.
(Ⅰ)求证:平面ABD;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值;
(Ⅲ)求二面角的余弦值.
正确答案
(Ⅰ)先证 (Ⅱ)
(Ⅲ)
试题分析:(Ⅰ)平行四边形ABCD中,AB=6,AD=10,BD=8,
沿直线BD将△BCD翻折成△
可知CD=6,BC’=BC=10,BD=8,
即,
故.
∵平面⊥平面
,平面
平面
=
,
平面
,
∴平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面ABD,且
,
如图,以D为原点,建立空间直角坐标系.
则,
,
,
.
∵E是线段AD的中点,
∴,
.
在平面中,
,
,
设平面法向量为
,
∴,即
,
令,得
,故
.
设直线与平面
所成角为
,则
.
∴直线与平面
所成角的正弦值为
.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面的法向量为
,
而平面的法向量为
,
∴,
因为二面角为锐角,
所以二面角的余弦值为
.
点评:本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角,以及翻折问题,学生必须要掌握在翻折的过程中,哪些是不变的,哪些是改变,这也是解决此类问题的关键.
如图所示,AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径,AD与两圆所在的平面均垂直,AD=8.BC是⊙O的直径,AB=AC=6,
OE∥AD.
(1)求二面角B-AD-F的大小;
(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值.
正确答案
(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为
(1)∵AD与两圆所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB,AD⊥AF,
故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.
依题意可知,ABFC是正方形,
∴∠BAF=45°.
即二面角B—AD—F的大小为45°;
(2)以O为原点,CB、AF、OE所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系(如图所示),
则O(0,0,0),
A(0,-3,0),B(3
,0,0),D(0,-3
,8),
E(0,0,8),F(0,3,0),
∴=(-3
,-3
,8),
=(0,3
,-8).
cos〈,
〉=
=
=-
.
设异面直线BD与EF所成角为,则
cos=|cos〈
,
〉|=
.
即直线BD与EF所成的角的余弦值为.
如图,正方体的棱长为
,
、
分别是
、
的中点.
⑴求多面体的体积;
⑵求与平面
所成角的余弦值.
正确答案
(1)
(2)
试题分析:⑴……1分,
……2分,
……3分,所以,多面体
的体积
……4分
⑵以为原点,
、
、
分别为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系……5分,则
,
,
,
……6分,设平面
的一个法向量为
,则
……8分,即
9分,取,则
……10分,
11分,
12分,
与平面
所成角的余弦值
13分。
点评:主要是考查了线面角的求解以及锥体体积的求解,属于中档题。
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