数列求和、数列的综合应用
共491题

数列求和、数列的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 10 分

17．在数列中N其中．

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前项和；

（III）证明存在N使得对任意N均成立．

正确答案

（I）解法一：，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

（1）当时等式成立．

（2）假设当时等式成立，即

那么，

这就是说，当时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，

等式对任何N都成立．

解法二：由N

可得

所以为等数列，其公差为1，首项为0．

故

所以数列的通项公式为

（II）

设 ①

②

当时，①式减去②式，得

这时数列的前项和

当时，这时数列的前项和

（III）通过分析，推测数列的第一项最大．

下面证明： ③

由知要使③式成立，只要因为

所以③式成立．

因此，存在使得对任意N均成立．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，（如图所示，坐标以已知条件为准），表示青蛙从点到点所经过的路程．

（1）若点为抛物线准线上一点，点、均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明．

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，试写出（请简要说明理由）；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且，求的表达式．

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

（方法二）∴是以为首项，为公比的等差数列，∴，

又，

∴，

于是，当为偶数时，

当为奇数时，

∴

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知识点

分组转化法求和数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的定义及应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

21. 已知为二次函数，不等式的解集为，且对任意，恒有，．数列满足，

（1）求函数的解析式；

（2）设，求数列的通项公式；

（3）若（2）中数列的前项和为，求数列的前n项和．

正确答案

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知识点

函数解析式的求解及常用方法由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．已知数列中，．

（1）求证：数列（）均为等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若数列的前项和为，不等式对恒成立，求的最大值．

正确答案

（1）∵，∴

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。

（2）

（3）

当且仅当时取等号，

所以，即，

∴的最大值为－48

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知识点

等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知是偶函数，，若将的图象向右平移一个单位又得到一个奇函数，又则（）

A－1003

B1003

D－1

正确答案

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知识点

函数奇偶性的性质抽象函数及其应用函数的周期性分组转化法求和数列与函数的综合

题型：填空题

填空题 · 4 分

12．对于集合N={1, 2, 3,…, n}及其它的每一个非空子集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数。例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5。当集合N中的n=2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，请你尝试对n=3、n=4的情况，计算它的“交替和”的总和S3、S4，并根据其结果猜测集合N={1, 2, 3,…, n}的每一个非空子集的“交替和”的总和Sn= _______。

正确答案

n∙2n–1

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知识点

元素与集合关系的判断集合中的新定义问题分组转化法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知数列{}的前n项和为，且，数列{}为等比数列，且。

（1）求数列{}，{}的通项公式；

（2）若数列{}满足，求数列{}的前n项和；

（3）在（2）的条件下，数列{}中是否存在三项，使得这三项成等差数列，若存在，求出此三项；若不存在，说明理由。

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项等差数列的判断与证明分组转化法求和等差数列与等比数列的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

14.已知数列的前n项和Sn=10n-n2(n∈N+),则数列的前n项和Tn为　　　　.

正确答案

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当n=1时,a1=S1=9;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=11-2n,

由于n=1时,a1=9也满足11-2n,

因此an=11-2n.

(1)当n>5时,

(2)当n≤5时,

综合(1)(2),得

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值分组转化法求和

题型：填空题

填空题 · 5 分

11.

正确答案

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知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用分组转化法求和数列与三角函数的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

4.对于一个有限数列p=（p1,p2,…,pn）,p的“迤俪森”定义为（S1+S2+…+Sn）,其中Sk=p1+p2+…+pk（1≤k≤n,k∈N*）,若一个99项的数列（p1,p2,…,p99）的“迤俪森”和为10000,则100项数列（9,p1,p2,…,p99）的“迤俪森”和为（　　）.

A9901

B9902

C9903

D9909

正确答案

解析

由“迤俪森”定义,得(p1,p2,…,p99)的“迤俪森”和为=10000,∴S1+S2+…+S99=990000,则100项的数列(9,p1,p2,…,p99)的“迤俪森”和为=9909

知识点

分组转化法求和

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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