数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

9. 已知中，，且是递增数列，则实数的取值范围是（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由而，所以所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了数列的函数特性，高考中数列常考的还是等差、等比数列基本公式、基本量的计算问题。

解题思路

由数列递增定义可得恒成立，进而由最值法求出的范围；

易错点

本题易忽略数列是特殊函数，即定义域。

知识点

数列与函数的综合

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题型：简答题

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简答题 · 16 分

22．已知数列与满足，.

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；

（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

正确答案

（1）

（2）详见解析

（3）

解析

因为，，所以，即.

故的第项是最大项.

（3）因为，所以，

当时，

.

当时，，符合上式.

所以.

因为，所以，.

①当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；

②当时，的最大值为，最小值为，而；

③当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值，由及，得.

综上，的取值范围是.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

5．等比数列中，，则数列的前10项和等于（）

A2

B

C5

D10

正确答案

C

解析

等比数列中，，

所以=，所以选C

考查方向

等比数列的性质，等比数列求前n项和

解题思路

利用等比数列项和项数的关系，进而求解

易错点

利用等比数列前N项和公式求解，找a1和公比q,使试题复杂。

知识点

等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列与函数的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17.设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3=7且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn=lnan，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和Tn．

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）.

解析

（I）设{an}是公比q大于1的等比数列，∵a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，

∴6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=+7+a1，又S3=a1（1+q+q2）=7，

联立解得a1=1，q=2．∴an=2n﹣1．

（II）bn=lnan=（n﹣1）ln2，∴数列{bn}的前n项和Tn=ln2．

考查方向

等比数列的通项公式及等差数列的前项和.

解题思路

（Ⅰ）由于是公比大于的等比数列，且构成等差数列，不难构造基本量的方程组，通过解方程组求得的值，进而求出通项公式；

（Ⅱ）把第（Ⅰ）问求得的代入化简可得，显然是等差数列，通过等差数列的前项和公式即可得解.

易错点

本题在第二问构造中易出现错误

知识点

由数列的前几项求通项等差数列的前n项和及其最值等比数列的基本运算数列与函数的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．数列满足，若为等比数列，则的取值范围是_______

正确答案

解析

第一种情况：当时，则，不能构成等比数列；

第二种情况：当时，，在此基础上再来看与的大小当时，，不能构成等比数列；当时，，，，…由此得到后面各项应该都满足，所以能够使得数列为一个公比为2的等比数列，所以得到

考查方向

本题考察了分段函数的定义和等比数列的概念，函数与数列的结合，常常考察函数的周期性，以及递归数列的通项公式的求法，难度中档，属高考热点之一

解题思路

由分段函数可知，若数列为等比数列，则它的公比为2，要使得数列是公比为2的等比数列，则从数列的第二项开始，都应该满足分段函数的2式，也就是

易错点

不能理解分段函数的意思

知识点

等比数列的性质及应用数列与函数的综合

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题型：单选题

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单选题 · 3 分

12.数列{an}的通项公式为an =，关于{an}有如下命题：

①{an}为先减后增数列；

②{an}为递减数列：

③

④

其中正确命题的序号为

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

C

解析

先取对数得，

由此可知an的单调性与的相同，

故此先研究的单调性。

构造函数（x>0），

，

所以，

由此可知，单调递增，

又因，

所以，

因此函数单调递减，

故{an}为递减数列，

且，

故选C。

考查方向

本题主要考查了数列的单调性与有界性

解题思路

首先取对数得，由此可知an的单调性与的相同，故此先研究的单调性。构造函数，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。

易错点

对于数列单调性无从下手。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

16.已知各项均为正数的数列满足若则数列的前六项和等于

正确答案

解析

，，，同理得，

考查方向

本题主要考察了函数与数列的综合应用

解题思路

本题属于简单题，

（1）逐一写出数列各项

（2）找出规律后，求和

易错点

计算过程易忽略数列当中的规律

知识点

数列与函数的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．若实数数列满足，则称数列为“数列”．

（1）若数列是数列，且，求，的值；

（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．

正确答案

（1）

（2）见解析

（3）

解析

（1）因为是数列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（2）假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾．

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数

（3）由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足（）．

设，则

．

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数．

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值集合为。

考查方向

本题主要考察了数列中项的问题，属于难题，是高考的热点，解决此类题的关键：是会对数列中的项进行分析。

易错点

1、本题易在对数列中的项分析不全面出现错误。

2、对数列中项的性质研究不全面出现错误。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；

（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

正确答案

(1) 证：由题意，

即，

∴

∴.

∵常数且，∴为非零常数，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2) 当时， , ，

所以

因为,所以，是递增数列，

因而最小值为

(3) 由(1)知，，要使对一切成立，

即对一切成立.

当时，，对一切恒成立；

当时，，对一切恒成立，只需，

∵单调递增，

∴当时，.

∴，且，

∴.

综上所述，存在实数满足条件.

解析

本题属于数列与不等式的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利函数的性质求出数列的通项公式；

（2）、利用等比数列的求和公式求出前n项和的表达式，并求出最小值；

（3）、根据数学归纳法，分类讨论出k的取值范围。

考查方向

本题考查了数列的综合应用题，特别是数列与不等式之间的应用题

易错点

1、由，得出.不容易想到2、对的讨论求出最小值讨论需要仔细3、数学归纳法的应用需要注意细节

知识点

等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．在数字的任意一个排列A：中，如果对于，有，那么就称为一个逆序对．记排列A中逆序对的个数为．

如时，在排列B：3, 2, 4, 1中，逆序对有，，，，则．

（Ⅰ）设排列 3, 5, 6, 4, 1, 2，写出的值；

（Ⅱ）对于数字1，2，，n的一切排列A，求所有的算术平均值；

（Ⅲ）如果把排列A：中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列：，求证：为奇数。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）证明略。

解析

试题分析：本题属于新定义题目的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求，（2）要注意分类讨论思想的应用

（Ⅰ）解：；

（Ⅱ）解：考察排列与排列，

因为数对与中必有一个为逆序对（其中），

且排列D中数对共有个，

所以．

所以排列与的逆序对的个数的算术平均值为．

而对于数字1，2，，n的任意一个排列A：，都可以构造排列A1：，且这两个排列的逆序对的个数的算术平均值为．

所以所有的算术平均值为．

（Ⅲ）证明：①当，即相邻时，

不妨设，则排列为，

此时排列与排列A：相比，仅多了一个逆序对，

所以，

所以为奇数．

②当，即不相邻时，

假设之间有m个数字，记排列A：，

先将向右移动一个位置，得到排列A1：，

由①，知与的奇偶性不同，

再将向右移动一个位置，得到排列A2：，

由①，知与的奇偶性不同，

以此类推，共向右移动m次，得到排列Am：，

再将向左移动一个位置，得到排列Am+1：，

以此类推，共向左移动m+1次，得到排列A2m+1：，

即为排列，

由①，可知仅有相邻两数的位置发生变化时，排列的逆序对个数的奇偶性发生变化，

而排列A经过次的前后两数交换位置，可以得到排列，

所以排列A与排列的逆序数的奇偶性不同，

所以为奇数．

综上，得为奇数。

考查方向

本题主要考查了新定义的研究，对新定义问题的考查注意分以下几类：

1．与集合相关的新定义，

2．与数列相关的新定义，

3．与函数相关的新定义；与计数原理相关的新定义．

解题思路

本题考查新定义问题的考查，解题步骤如下：

1．直接写出的值；

2．考查考察排列与排列中的数对个数；

3．研究排列与逆序的个数，进而求其平均值；

4．分情况讨论研究“仅有相邻两数的位置发生变化”

易错点

1、第二问中，对“逆序”理解不透彻，导致错误；

2、第三问中，不要忽视对的关系和的是否相邻进行讨论。

知识点

数列与函数的综合排列、组合的实际应用

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