数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 4 分

11. 无穷数列由个不同的数组成，为的前项和，若对任意，，则的最大

值为___________

正确答案

知识点

数列的极限数列与其它知识的综合问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

17. 已知无穷等比数列的公比为，前项和为，且，下列条件中，使得恒成立的是( )

A,

B,

C,

D,

正确答案

B

解析

, ,

，即

若，则，不可能成立

若，则，B成立

知识点

数列的极限

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知表示不小于的最小整数，例如.

27.设,,若，求实数的取值范围；

28.设，在区间上的值域为，集合中元素的个数为，求证：；

29.设（），，若对于，都有，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1），

解析

（1）因为在区间上单调递增，

所以

进而的取值集合为

由已知可知在上有解，因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

根据函数的单调性求出的取值集合为，进而可得到答案；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）略；

解析

（2）当时，，

所以的取值范围为区间

进而在上函数值的个数为个，

由于区间与没有共同的元素，

所以中元素个数为，得

因此，

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先根据题意确定，然后带入求出极限；

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

（3）由于，

所以，并且当时取等号，

进而时，

由题意对任意，恒成立.

当，恒成立，因为，所以

综上，实数的取值范围为 .

考查方向

本题主要考查函数的性质，能成立问题、极限的求法等知识，意在考查考生的分析问题、解决问题，转化与划归的能力。

解题思路

先求出，进而分类确定a的取值范围。

易错点

1.错将能成立问题转化为恒成立问题处理；2.对于题中出现的字母太多导致无法入手。

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题型：填空题

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填空题 · 20 分

请你谈一谈对“不同生产方式以及生产工艺中，生产物流管理所采用的方法和手段是不同的。”这句话的理解。

正确答案

测试

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

设函数fn（x）＝（x∈R，n∈N*），证明：

（1）对每个n∈N*，存在唯一的xn∈，满足fn（xn）＝0；

（2）对任意p∈N*，由（1）中xn构成的数列{xn}满足0＜xn－xn＋p＜.

正确答案

见解析

解析

（1）对每个n∈N*，当x＞0时，f′n（x）＝＞0，故fn（x）在（0，＋∞）内单调递增。

由于f1（1）＝0，当n≥2时，fn（1）＝＞0，故fn（1）≥0.

又·

，

所以存在唯一的xn∈，满足fn（xn）＝0.

（2）当x＞0时，fn＋1（x）＝fn（x）＋＞fn（x），故fn＋1（xn）＞fn（xn）＝fn＋1（xn＋1）＝0.

由fn＋1（x）在（0，＋∞）内单调递增知，xn＋1＜xn，故{xn}为单调递减数列，

从而对任意n，p∈N*，xn＋p＜xn.

对任意p∈N*，

由于fn（xn）＝，①

fn＋p（xn＋p）＝.②

①式减去②式并移项，利用0＜xn＋p＜xn≤1，

得xn－xn＋p＝

.

因此，对任意p∈N*，都有0＜xn－xn＋p＜.

知识点

函数零点的判断和求解导数的运算数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知数列和满足.若为等比数列，且

(1) 求与；

(2) 设.记数列的前项和为,

（i）求；

（ii）求正整数，使得对任意均有.

正确答案

见解析

解析

（1）∵ ①，

当n≥2，n∈N*时，②，

由①②知：当时，，令n=3，则有

∵b3=6+b2， ∴a3=8。

∵{an}为等比数列，且a1=2，∴{an}的公比为q，则

由题意知an＞0，∴q＞0，∴q=2。

∴an＝2n（n∈N*）。

又由，得：

即

∴bn=n（n+1）（n∈N*）。

（2）（i）∵

∴ =

= =

=

（ii）因为c1=0，c2＞0，c3＞0，c4＞0；

当n≥5时，

而，得

所以，当n≥5时，cn＜0，

综上，对任意n∈N*恒有，故k=4。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的性质及应用分组转化法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

设数列的前项和为,满足,,且成等差数列。

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明:对一切正整数,有.

正确答案

见解析

解析

（1）因为,当时,,即,

当时,,即,又

联立上述三个式子可得.

（2）由（1）可知

当时,由得,两式相减整理得,

即,即,又,

所以为首项为,公比为的等比数列,

所以,所以.

（3）当时,显然成立,当时,显然成立。

当时,

又因为,所以, 所以

所以.

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

数列所有项的和为．

正确答案

:

解析

利用等比数列求和公式，求出数列所有项的和为.

考查方向

本题主要考查了等比数列求和的基本运算

易错点

等比数列的求和公式忘记

知识点

数列的极限

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题型：填空题

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填空题 · 4 分

5．无穷等比数列()的首项，公比，

则前项和的极限=___________.

正确答案

解析

第一步，先求出等比数列的前项和，

第二步，因为，所以，所以。

考查方向

本题主要考查了等比数列的求和以及数列求极限，在近几年的各省高考题出现的频率较低。

解题思路

本题应该分为两步，首先求出等比数列的前项和，再求数列的极限。当然也可以直接套用无穷递缩等比数列的求和公式。

易错点

本题必须注意

（1）只有公比时，才能套用前项和的公式。

（2）只有公比满足时，等比数列的前项和才有极限。

知识点

数列的极限

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知函数，若存在常数T（T>0），对任意都有，则称函数为T倍周期函数

（1）判断是否是T倍周期函数，并说明理由

（2）证明是T倍周期函数，且T的值是唯一的

（3）若是2倍周期函数，，，表示的前n 项和，，求

正确答案

（1）不是T倍周期函数，理由略

（2）证明略

（3）

解析

解：（1）设：

则对任意x恒成立

无解

不是T倍周期函数

（2）设：

则对任意x恒成立

下证唯一性：

若，矛盾

是唯一的

（3）

同理：

考查方向

本题考查了数列求和的基本方法以及求数列极限的运算，考查学生对新概念的理解能力和函数变换的技能，考查学生的创新能力。

解题思路

首先作到最后，要有耐心和信心，认真审题，发掘题目中的可利用信息。第一问直接证明有困难，可以考虑反证法；第三问因为奇数项和偶数项的变化规律不同，宜采用分组求和法。

易错点

第三问数列的奇数项和偶数项要区别对待，忽视容易产生错误。

知识点

数列与函数的综合数列的极限

热门试卷

正确答案

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解题思路

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