热门试卷

（1）由是数列，，，有，

于是,

所有满足条件的数列的前项为：

；；；，   

（2）（必要性）设数列是等比数列，（为公比且），则

，若为数列，则有

（为与无关的常数）

所以，或，                           

（充分性）若一个等比数列的公比，则， ，所

以 为数列；

若一个等比数列的公比，则，

，所以为数列-

（3）因数列中，则

，

所以数列的前项和

假设存在正整数使不等式对一

切都成立，即

当时，，又为正整数，

，                                          

下面证明：对一切都成立。

由于

所以

(1) 解法一：由得，

-

由上式结合得，

则当时，， -

---

，

∵，∴，

∴数列是首项为，公比为4的等比数列

∴，∴.-

【解法二：由得，

-

由上式结合得，

则当时，，--

-

， -

∴，

∵，∴，-

∴.-

(2) 由得，-

【或】

∴----

（1）设等比数列的首项为，公比为，

，（）

=

即()

当,得，即，解得：

即.

（2）①，则，

设①     则②

①  -②得：2+

=+

（1）当时，有，解得。

当时，有，解得。

（2）（法一）当时，有, ………①

。 …………②

①—②得：，即：。

。

  。

另解：。

又当时，有，       。

（法二）根据，，猜想：。

用数学归纳法证明如下：

（1）当时，有，猜想成立。

（2）假设当时，猜想也成立，即：。

那么当时，有，

即：，①

又 ，  …②

①-②得：，

解，得 。

当时，猜想也成立。

因此，由数学归纳法证得成立，

（3），

。

（1）

（2）

（1）法一：由得

当时，，且，故

当时，，故，得，

∵正项数列，

∴

∴是首项为，公差为的等差数列。

∴   ，

∴   .

法二：

当时，，且，故

由得，

当时，

∴  ，

整理得

∵正项数列，，

∴  ，

∴是以为首项，为公差的等差数列，

∴   .

（2）证明：先证：

.

故只需证，

因为[]2

所以

所以

当取得到不等式，

相加得：

即：

（1）显然的定义域为，，

令，

ⅰ）当时：在区间上，恒成立，故的增区间为；

ⅱ）当时：在区间上，恒成立，故的减区间为；

在区间上，恒成立，故的增区间为.

（2）ⅰ）时，，所以；

ⅱ）时，易知，

于是：，，

由（1）可知， 下证，

即证明不等式在上恒成立。

（法一）由上可知：不等式在上恒成立，

若，则，

故，

即当时，，从而，

故当时，恒成立，即.

（法二）令，，则，列表如下：

由表可知：当时，，

即恒成立，即.

由于，且，

故函数区间内必存在零点。

又当时，，

于是指数函数为增函数为增函数，

同理当时，，

于是指数函数为减函数也为增函数，

于是，当时， 必为增函数，

从而函数在区间内必存在唯一零点，不妨记为，则，

易知当时，，此时单调递减；

当时，，此时单调递增，

又易知，故；

综上，当时， 在上的最大值为.

（3）证法一：令， 显然有：，，

则不等式.

注意到：，且，，即，且，

于是，，

故，

从而，即，又，

故原不等式成立，证毕.

证法二：同上可将不等式化为：,

即，令，则等价于证明：当时，有成立，

又，

故，

于是，即得证，

又，故原不等式成立，证毕。