数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知数列满足，（）。

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求的前n项和；

（Ⅲ）设，数列的前n项和，求证：对。

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

19．已知数列的前和，数列的通项公式．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求证：。

正确答案

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知识点

等差数列的判断与证明等差数列的前n项和及其最值裂项相消法求和数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．已知数列满足，前n项和为Sn，Sn=。

（1）求证：是等比数列；

（2）记，当时是否存在正整数n，都有？如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由。

正确答案

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知识点

等比数列的判断与证明错位相减法求和数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

21．设各项为正数的数列的前项和为,且满足:．等比数列满足：．

（Ⅰ）求数列,的通项公式;

（Ⅱ）设，求数列的前项的和；

（Ⅲ）证明:对一切正整数,有．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和裂项相消法求和数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．在数列中，

（1）求数列的通项；

（2）若存在，使得成立，求实数的最小值。

正确答案

解：（1）

（2）

由（1）可知当时，

设

则

又及，

所以所求实数的最小值为

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由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

21.设.

（1）求实数a；

（2）求数列{xn}的通项公式；

（3）若，求证：b1+b2+…+bn<n＋1。

正确答案

（1）由

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由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知数列的首项（是常数，且），（），数列的首项，（）．

（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；

（2）设为数列的前项和，且是等比数列，求实数的值；

（3）当时，求数列的最小项．

正确答案

（1）∵

∴

（n≥2）

由得，，

∵，∴ ，

即从第2项起是以2为公比的等比数列．

（2）

当n≥2时，

∵是等比数列，

∴（n≥2）是常数，

∴，即．

（3）由（1）知当时，，

所以，

，

显然最小项是前三项中的一项．

当时，最小项为；当时，最小项为或；

当时，最小项为．

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由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 18 分

23．已知数集具有性质：对任意的，与两数中至少有一个属于．

（1）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；

（2）求的值；当时，数列是否成等比数列，试说明理由；

（3）由（2）及通过对的探究，试写出关于数列的一个真命题，并加以证明．说明：对于第（3）题，将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分．

正确答案

（1）由于与均不属于数集，∴数集不具有性质P

由于，，，，，，都属于数集，∴数集具有性质P

（2）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，由于

，∴，故

从而 ∴

当时，，，，都属于A

从而，，，即，

故数列成等比数列

（3）命题一：对于一切大于或等于3的奇数，满足性质的数列成等比数列．

证明：由（2），不妨设．首先易得，知

都属于A，又，从而，有

，即

…………………（﹡）

因为，所以，只有，，

均属于．将从到列举，便得到：

第1组：，共项；

第2组：，共项；

第3组：，共项；

第组：，共项．

上一组的第2项总大于下一组的第1项，再注意到，故，

第1组的各数从左到右依次为：；

第2组的各数从左到右依次为：；

第3组的各数从左到右依次为：；

第组的各数从左到右依次为：．

于是，有，

由（﹡），，，，，又，故，数列

成等比数列．

命题二：对于一切大于或等于6的偶数，满足性质的数列成等比数列．

证略（同命题一的证明类似）

命题三：对于一切且的，满足性质的数列成等比数列，且．

（证略）若学生指出：当时，满足性质的数列有可能是等比数列，也有可能不是等比数列．

例如数列不是等比数列；数列是等比数列．

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元素与集合关系的判断等比数列的判断与证明等比数列的性质及应用数列与不等式的综合归纳推理

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

21．已知数列中，．

（1）求证：数列（）均为等比数列；

（2）求数列的前项和；

（3）若数列的前项和为，不等式对恒成立，求的最大值．

正确答案

（1）∵，∴

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列；

数列是以为首项，为公比的等比数列。

（2）

（3）

当且仅当时取等号，

所以，即，

∴的最大值为－48

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等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

12．已知数列的通项公式是，其中a、b均为正常数，那么与的大小关系是（）

A

B

C

D与n的取值相关

正确答案

B

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由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

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