数列求和、数列的综合应用
共491题

数列求和、数列的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 10 分

17．在数列中N其中．

（I）求数列的通项公式；

（II）求数列的前项和；

（III）证明存在N使得对任意N均成立．

正确答案

（I）解法一：，

，

．

由此可猜想出数列的通项公式为．

以下用数学归纳法证明．

（1）当时等式成立．

（2）假设当时等式成立，即

那么，

这就是说，当时等式也成立．

根据（1）和（2）可知，

等式对任何N都成立．

解法二：由N

可得

所以为等数列，其公差为1，首项为0．

故

所以数列的通项公式为

（II）

设 ①

②

当时，①式减去②式，得

这时数列的前项和

当时，这时数列的前项和

（III）通过分析，推测数列的第一项最大．

下面证明： ③

由知要使③式成立，只要因为

所以③式成立．

因此，存在使得对任意N均成立．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和数列与不等式的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

16．对于数列，如果存在正实数，使得数列中每一项的绝对值均不大于，那么称该数列为有界的，否则称它为无界的．在以下各数列中，无界的数列为（）

A，．

B，．

C，．

D，．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

20．函数的定义域，对定义域内任意两个实数，都有成立．

（1）求的值并证明为偶函数；

（2）若，记，求数列的前2009项的和；

（3）若，且不等式对任意正实数恒成立，求非零实数a的取值范围．

正确答案

（1）赋值得，

为偶函数

（2）得，

；

，

（3）设，

，

得

恒成立，

又，

从而

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知识点

函数奇偶性的判断抽象函数及其应用函数的值由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

16．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）证明：对一切正整数n，有．

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的基本运算等差数列的性质及应用裂项相消法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．已知等差数列的公差不为零，其前n项和为，若=70，且成等比数列

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设数列的前n项和为，求证：。

正确答案

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知识点

由数列的前几项求通项裂项相消法求和数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：填空题

填空题 · 3 分

11．受2008年国际金融危机的影响，某企业单位在人事制度改革中对员工进行分流，被分流的入员当年可在原单位领取原工资的100%，从第二年起每年只在原单位领取前一年工资的．同时，分流人员另创经济实体，第一年无利润，第二年每人在经济实体收入b元，第三年起每人每年在经济实体内的收入在上一年的基础上递增50%．若分流前某员工工资为元，分流后第n年总收入为，且b=．则此员工在第____________年收入最少

正确答案

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函数模型的选择与应用等比数列的基本运算等比数列的性质及应用数列与不等式的综合利用基本不等式求最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．已知数列{an}的前n项和，且=1，.

（I）求数列{an}的通项公式；

（II）已知定理：“若函数f（x）在区间D上是凹函数，x>y（x,y∈D），且f’（x）存在，则有< f’（x）”．若且函数y=xn+1在（0,+∞）上是凹函数，试判断bn与bn+1的大小；

（III）求证：≤bn<2.

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an由递推关系式求数列的通项公式数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设各项均为正数的数列的前项和为，满足且恰好是等比数列的前三项．

（1）求数列、的通项公式；

（2）记数列的前项和为,若对任意的，恒成立，求实数的取值范围．

正确答案

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等比数列的基本运算等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

19．已知单调递增的等比数列满足：且的等差中项。

（I）求数列的通项公式；

（II）若成立的正整数n的最小值。

正确答案

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由数列的前几项求通项错位相减法求和数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．设数列满足，，，其中、为实数，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，，，求数列的前项的和；

（3）在（2）的条件下，若存在自然数使对恒成立，求的最小值。

正确答案

（1）

（2）

（3）2

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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