数列求和、数列的综合应用_章节学习

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题型：单选题

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单选题 · 3 分

12.数列{an}的通项公式为an =，关于{an}有如下命题：

①{an}为先减后增数列；

②{an}为递减数列：

③

④

其中正确命题的序号为

A①③

B①④

C②③

D②④

正确答案

C

解析

先取对数得，

由此可知an的单调性与的相同，

故此先研究的单调性。

构造函数（x>0），

，

所以，

由此可知，单调递增，

又因，

所以，

因此函数单调递减，

故{an}为递减数列，

且，

故选C。

考查方向

本题主要考查了数列的单调性与有界性

解题思路

首先取对数得，由此可知an的单调性与的相同，故此先研究的单调性。构造函数，通过二次求导便可研究它的单调性，进而得到数列的有界性。

易错点

对于数列单调性无从下手。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17. 设数列的前项和，且是的等差中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和，求证：.

正确答案

（1）

（2）略

解析

（1）由已知，有，

即.

从而，.

又因为是的等差中项，即.解得.

所以数列是首项为，公比为的等比数列.故.

（2）由（1）得，所以，

两式相减

.

因为-=,所以数列递减

即,从而

考查方向

本题主要考查了等差和等比数列的基本性质以及等比数列求和错位相减法的运用，难度较小，属高考热点问题之一。数列问题在高考中常常涉及根据递推式求通项公式，数列的求和以及数列和不等式的结合等问题。

解题思路

第一问直接利用，找出相邻两项之间的关系，然后再根据等差中项的性质求出首项即可。第二问用错位相减法得到前n项和，然后直接得到小于2，再根据数列的单调性得到左边成立。

易错点

1、第一问中不能把灵活运用，或不会求首项；

2、第二问中右边端点通过求和就能证明，但是左边端点不能想到结合函数的单调性来解决。

知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 5 分

16．已知等差数列的前项和为，公差为，，且．关于以下几种说法：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）当时，最大；

（5）．

其中正确的有（把你认为正确的说法都写上）

正确答案

（1）（2）（4）

解析

由得，因为第二个因式恒大于0，进行得到（另解：可构造函数，由函数的单调性与奇偶性推出）。又，，所以此等差数列就为递减数列，即，（1）对，（3）错；对于（2），由公式和性质知，对的；由性质知即所以为最后一项正项，故当时，最大，即（4）对；由故（5）错。

考查方向

本题主要考查了函数与数列的联系及等差数列的公式与性质。

易错点

不知道如何处理这个式子，对等差数列的性质不清。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用等差数列的前n项和及其最值数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．在等比数列中，．(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设，且为递增数列，若，求证：．

正确答案

（1）时，；时，

（2）由题意知：

∴

解析

（1）具体的分析如下：时，；时，

（2）由题意知：

∴∴

∴

考查方向

等比数列的通项公式，裂项相消法求和．

解题思路

先求出bn，然后用裂项相消求和

易错点

分类讨论p=1和p不等1时候的情况

知识点

由数列的前几项求通项等比数列的基本运算数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

17．设为数列的前项和，已知，对任意，都有．

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ）若数列的前项和为,求证：．

正确答案

证明，（Ⅰ）因为，

当时，，

两式相减，得，

即，

所以当时，．

所以．

因为，所以．

（Ⅱ）因为，，，

所以．

所以

．

因为，所以．

因为在上是单调递减函数，

所以在上是单调递增函数．

所以当时，取最小值．

所以．

解析

本题属于数列应用中的基本问题，两问难度相当，（I）直接按照步骤来求（II）要裂项相消求和即可．

考查方向

本题考查了数列的相关知识点：

1、利用递推公式推导通项公式；

2、数列中的关系；

3、利用递推公式求解通项公式要单独把n=1拿出来验证；

4、数列中常用的求和方法----裂项法。

解题思路

易错点

知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．若实数数列满足，则称数列为“数列”．

（1）若数列是数列，且，求，的值；

（2）求证：若数列是数列，则的项不可能全是正数，也不可能全是负数；

（3）若数列为数列，且中不含值为零的项，记前项中值为负数的项的个数为，求所有可能取值．

正确答案

（1）

（2）见解析

（3）

解析

（1）因为是数列，且

所以，

所以,

所以，解得,

所以．

（2）假设数列的项都是正数，即，

所以，，与假设矛盾．

故数列的项不可能全是正数,

假设数列的项都是负数，

则而,与假设矛盾,

故数列的项不可能全是负数

（3）由(Ⅱ)可知数列中项既有负数也有正数，

且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数．

因此存在最小的正整数满足（）．

设，则

．

,

故有, 即数列是周期为9的数列

由上可知这9项中为负数，这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数．

因为,

所以当时，;

当时，这项中至多有一项为负数，而且负数项只能是,

记这项中负数项的个数为，

当时，若则，故为负数，

此时，；

若则，故为负数．

此时，，

当时，必须为负数，，,

综上可知的取值集合为。

考查方向

本题主要考察了数列中项的问题，属于难题，是高考的热点，解决此类题的关键：是会对数列中的项进行分析。

易错点

1、本题易在对数列中的项分析不全面出现错误。

2、对数列中项的性质研究不全面出现错误。

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

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题型：填空题

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填空题 · 14 分

20．某农场规划将果树种在正方形的场地内．为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树．在下图里，你可以看到规划种植果树的列数（）、果树数量及松树数量的规律：

（1）按此规律，时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量，及松树数量关于的表达式．

（2）定义：（）为增加的速度．现农场想扩大种植面积，问：哪种树增加的速度会更快？并说明理由．

正确答案

（1）时果树25棵，松树40棵；；．

（2）当时松树增加的速度快；当时果树增加的速度快．

解析

（1）时果树25棵，松树40棵

（2）

当时，2+1 < 8 ,

松树增加的速度快,

当时，2+1 > 8 ,

果树增加的速度快.

考查方向

本题主要考查归纳法求数列的通项公式，考查观察能力、归纳能力和即时学习能力．

解题思路

对题（1），可以通过观察、归纳得到通项公式；

对题（2），后项与前项作差比大小即可．

易错点

寻找各图中增加树木之间的关联容易出错，对新定义的概念不容易理解．

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

某市2013年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车2万张．为了节能减排和控制总量，从2013年开始，每年电动型汽车牌照按50%增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变．

（1）记2013年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；

（2）从2013年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？

正确答案

（1）

当且时，；

当且时，．而，

（2）当时，．

当时，

由得，

即，

解得

到2029年累积发放汽车牌照超过200万张

解析

本题属于数列的应用题，题目的难度是中等，本题的关键是：

（1）、从所给的数列中找出规律，并求出两数列的通项公式；

（2）、再根据数列的通项公式的分段函数性质，求出各自的前n项和，最后利用函数的性质给出答案。这类数列的应用题型较为常见。

考查方向

本题考查了数列与函数之间的综合应用，特别是分段函数与数列的应用

易错点

1、分类讨论：和的区别2、分类讨论的前n项和与的前n项和

知识点

等差数列的判断与证明等比数列的判断与证明分组转化法求和数列与不等式的综合

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题型：简答题

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简答题 · 18 分

已知函数（为常数，且），且数列是首项为4，公差为2的等差数列.

（1）求证：数列是等比数列；

（2）若，当时，求数列的前项和的最小值；

（3）若，问是否存在实数，使得是递增数列？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由．

正确答案

(1) 证：由题意，

即，

∴

∴.

∵常数且，∴为非零常数，

∴数列是以为首项，为公比的等比数列.

(2) 当时， , ，

所以

因为,所以，是递增数列，

因而最小值为

(3) 由(1)知，，要使对一切成立，

即对一切成立.

当时，，对一切恒成立；

当时，，对一切恒成立，只需，

∵单调递增，

∴当时，.

∴，且，

∴.

综上所述，存在实数满足条件.

解析

本题属于数列与不等式的综合应用题，题目的难度是偏难，本题的关键是：

（1）、利函数的性质求出数列的通项公式；

（2）、利用等比数列的求和公式求出前n项和的表达式，并求出最小值；

（3）、根据数学归纳法，分类讨论出k的取值范围。

考查方向

本题考查了数列的综合应用题，特别是数列与不等式之间的应用题

易错点

1、由，得出.不容易想到2、对的讨论求出最小值讨论需要仔细3、数学归纳法的应用需要注意细节

知识点

等比数列的判断与证明数列与函数的综合数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

18．设数列{an}的前n项和为Sn，己知a1=l，nan+1=(n+2)Sn，n∈N*.

（1）求证：是等比数列；

（2）设Tn= S1+S2+--+Sn，求证：(n+l) Tn<nSn+1．

正确答案

（1）；

（2）略．

解析

试题分析：本题属于数列中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难．

（1）由已知得。

所以是以1为首项，2为公比的等比数列。

（2）由上知。

……①

……②

①-②得：。

即(n+l) Tn<nSn+1．

考查方向

本题考查了数列的问题．属于高考中的高频考点。

解题思路

本题考查数列问题，解题步骤如下：

（1）利用等比数列的定义证明。

（2）利用错位相减法求和。

易错点

错位相减法求和时相减的结果项数易错。

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合

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解题思路

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