数列求和、数列的综合应用_章节学习

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是

（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A2018年

B2019年

C2020年

D2021年

正确答案

B

知识点

等比数列的基本运算数列与不等式的综合

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

12.已知函数满足，若函数与图像的交点为则

A0

Bm

C2m

D4m

正确答案

B

知识点

抽象函数及其应用函数图象的应用数列与不等式的综合

1

题型：填空题

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填空题 · 15 分

设数列满足，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若，，证明：，.

正确答案

（I）由得，故

，，

所以

，

因此

．

（II）任取，由（I）知，对于任意，

，

故

．

从而对于任意，均有

．

由的任意性得． ①

否则，存在，有，取正整数且，则

，

与①式矛盾．

综上，对于任意，均有．

知识点

数列与不等式的综合数列与其它知识的综合问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

已知，函数记为的从小到大的第（）个极值点。

27.证明：数列{}是等比数列：

28.若对一切，||恒成立，求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

令，由，得，即，

而对于，当时，

若，即，则，

因此，在区间与上，的符号总相反，于是当时，取得极值，所以，此时，

，易知，而

是常数，

故数列是首项为，公比为的等比数列。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题，令，求出函数的极值点，根据等比数列定义即可得到结果；

易错点

字母太多，导致感觉混乱没有思路；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

对一切恒成立，即恒成立，也即恒成立，

设，则，令得，

当时，所以在区间上单调递减；

当时，所以在区间上单调递增；

因为，且当时，，所以

，

因此恒成立，当且仅当，解得，，

故实数a的取值范围是。

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题，意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题问题等价于恒成立问题，设，然后运用导数的知识得到，求得，得到a的取值范围。

易错点

不会构造函数导致没有思路。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9.设等差数列的前n项和为，且满足，对任意正整数n，都有，则k的值为（）

A1006

B1007

C1008

D1009

正确答案

D

解析

∵

故，且

∴对任意正整数n，都有，则k=1009，∴所以选项D为正确选项

考查方向

本题主要考查了等差数列的前项和和数列函数性质,属于难题，是高考的热点

解题思路

由，得出，，得出结论

易错点

本题不易在利用前项和性质得出，结论

知识点

等差数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知{}是等差数列，{}是各项都为正数的等比数列，且a1＝2，b1＝3，a3＋b5＝56，a5＋b3＝26．

17.求数列{}，{}的通项公式；

18.若－＋3x≤对任意n∈N﹡恒成立，求实数x的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)

解析

解：（Ⅰ）由题意，，

代入得，消得，

，是各项都为正数的等比数列，

所以，

考查方向

本题主要考查了等差等比数列的通项公式和函数与数列综合的恒成立问题，考查考生的运算能力和转化能力。

解题思路

（1）通过等差等比数列的定义求出d和q,(2)先求出的最小值再解关于x的不等式。

易错点

寻找的最小值的方法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)

解析

解：

（Ⅱ）记

所以最小值为，

所以，解得或

所以.

考查方向

本题主要考查了等差等比数列的通项公式和函数与数列综合的恒成立问题，考查考生的运算能力和转化能力。

解题思路

（1）通过等差等比数列的定义求出d和q,(2)先求出的最小值再解关于x的不等式。

易错点

寻找的最小值的方法

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，公比为，且，．

17.求与；

18.证明：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设的公差为，因为所以解得或（舍），．故，．

考查方向

等差数列的通项公式；数列求和；利用数列证明不等式

解题思路

第一问根据前N项和求通项公式，第二问用裂项相消的办法证明不等式

易错点

相关性质掌握不好；不会求数列的和

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

因为，所以．故

．因为，所以，于是，

所以．即．

考查方向

等差数列的通项公式；数列求和；利用数列证明不等式

解题思路

第一问根据前N项和求通项公式，第二问用裂项相消的办法证明不等式

易错点

相关性质掌握不好；不会求数列的和

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）

在数列中，

27.若求数列的通项公式；

28.若证明：

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：（1）由于，因此把已知等式具体化得，显然由于，则（否则会得出），从而，所以是等比数列，由其通项公式可得结论

试题解析：（1）由,有

若存在某个，使得，则由上述递推公式易得，重复上述过程可得，此与矛盾，所以对任意,.

从而，即是一个公比的等比数列.

故.

考查方向

等比数列的通项公式，数列的递推公式，推理论证能力．

解题思路

数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．

易错点

本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项．

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明详见解析

解析

试题分析：（2）本小题是数列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是可变形为,由于，因此，于是可得，即有，又，于是有

，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知，因此

，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.

试题解析：（2）由，数列的递推关系式变为

变形为.

由上式及，归纳可得

因为，所以对

求和得

另一方面，由上已证的不等式知得

综上：

考查方向

本题考查了不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论证能力，考查创新意识．

解题思路

数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．

易错点

第（2）小题把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

15．已知数列是等比数列，并且是公差为的等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，记为数列的前n项和，证明：.

正确答案

（Ⅰ）

解析

解：设等比数列的公比为，

因为是公差为的等差数列，

所以

即

解得.

所以．

（Ⅱ）证明：因为，

所以数列是以为首项，为公比的等比数列.

所以

.

考查方向

本题第一问以等差数列概念及等差中项公式为载体考查等比数列通项公式的求法，第二问以第一问知识背景为基础构造新等比数列考查求和公式的使用。本题依托高考命题核心要点命制，构思精巧，注重考查学生的方程思想及思维的灵活性。

解题思路

本题主要考查考等差、等比数列的概念和性质及方程思想，解题思路如下：1、由条件是公差为的等差数列列出方程组2、由数列是等比数列把方程组中的由通项公式化成从而得到关于的方程组进而求出的值得出的通项公式；3、表示出，进而由等比数列定义证明数列为等比数列并指出其首项和公比后进而求出数列的前n项和，化简后可得

易错点

本题第二问直接把数列当作等比数列解题而不加证明可导致失分。

知识点

由数列的前几项求通项等比数列的性质及应用数列与不等式的综合

1

题型：简答题

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简答题 · 16 分

（16分）（2015•上海）已知数列{an}与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．

（1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列{an}的通项公式；

（2）设{an}的第n0项是最大项，即a≥an（n∈N*），求证：数列{bn}的第n0项是最大项；

（3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得{an}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．

正确答案

1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，

∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，

∴{an}是等差数列，首项为a1=1，公差为6，

则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；

（2）∵an=（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1

=2（bn﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1

=2bn+a1﹣2b1，

∴，

∴．

∴数列{bn}的第n0项是最大项；

（3）由（2）可得，

①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；

单调递增，有最小值m=a1=λ，

∴∈（﹣2，2），

∴λ∈，

∴．

②当λ=﹣1时，a2n=3，a2n﹣1=﹣1，

∴M=3，m=﹣1，

（﹣2，2），不满足条件．

③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；

当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．

综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合

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