- 数列求和、数列的综合应用
- 共491题
23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分
若无穷数列
(1) 若
(2) 若无穷数列
(3) 设
正确答案
(1)
∴
∴
∴
∴
∴
(2)设
∴
∴
∴
∴
∴
∵
而
故
(3) 充分性：若
则
若存在
则
故
必要性：若对任意
则
设函数
由
∴一定能找到一个
∴
∴
故
∴
知识点
18.（本小题满分12分）
已知数列
（Ⅰ）求数列
（Ⅱ）另
正确答案
知识点
设等差数列
20.求数列
21.当
正确答案
（Ⅰ）
解析
（Ⅰ）由题意有，
故
考查方向
解题思路
（Ⅰ）由已知可列出方程组
易错点
公式记错。
正确答案
（Ⅱ）
解析
由
①-②可得
故
考查方向
解题思路
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得
易错点
不知道用错位相减法求和。
20．设数列
（1）若数列
（2）若数列
（3）试构造一个数列
正确答案
（1）
（2）
（3）
解析
试题分析：本题属于数列综合问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）（2）直接按照单调数列定义来求（3）构造新数列时，要把握问题的本质。
（1）因为
所以
（2）根据题意可知，
可得
则
所以
（3）构造
下证数列
证明：因为
所以
所以
因为
所以数列
考查方向
解题思路
解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系。解综合问题的成败在于审清题意，通过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系与隐含条件。
易错点
1、数列单调性的巧妙运用。
2、第三问中构造不正确得不到正确结论。
知识点
已知等差数列{an}的公差不为零，a1＝25，且a1，a11，a13成等比数列．
18.求{an}的通项公式；
19.求a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.
正确答案
an＝－2n＋27，(2)Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n．
解析
解： (1)设{an}的公差为d.由题意，a＝a1a13，[即(a1＋10d)2＝a1(a1＋12d)， 于是d(2a1＋25d)＝0.又a1＝25，所以d＝0(舍去)，或d＝－2.故an＝－2n＋27
考查方向
解题思路
本题考查等差数列和等比数列，数列的求和，解题步骤如下：设出等差数列的公差，由已知等比数列构造出一个方程解出符合题意的公差，写出数列的通项公式。
易错点
求和的时候将里面的项数弄错，等比中项性质。
正确答案
Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n．
解析
令Sn＝a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2.由(1)知a3n－2＝－6n＋31， 故{a3n－2}是首项为25，公差为－6的等差数列．
从而Sn＝(a1＋a3n－2)＝·(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
考查方向
解题思路
要求的数列也是一个等差数列，利用等差数列的前n项和公式解答即可。
易错点
求和的时候将里面的项数弄错，等比中项性质。
6.已知等差数列
正确答案
2
解析
设
考查方向
解题思路
本题考查运用等差数列及等比数列性质求首项，解题步骤如下：设
易错点
本题必须注意审题，忽视则会出现错误。
知识点
5．公差为
A
B
C
D
正确答案
解析
解得
所以
考查方向
解题思路
根据等差数列的定义，
易错点
不知道等比中项的性质，或把等比中项与等差中项混淆
知识点
3．在各项均为正数的等比数列
正确答案
解析
由
考查方向
本题主要考查数列的通项公式、等差中项、前n项和等知识，意在考生的运算推理能力。
解题思路
1.先根据
2.然后利用等比数列的求和公式求出
易错点
1.不会转化
2.误用等差数列求等比数列的前n项和。
知识点
17．在公比为
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若函数
正确答案
（Ⅰ）
（Ⅱ）
解析
试题分析：本题属于数列和三角函数中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意图像的应用．
（Ⅰ） 解：由题可知
故
（Ⅱ）∵点
∴
又∵
如图，连接
又∵
∴
∴
考查方向
本题考查了数列与三角函数的知识，涉及到等比数列及三角函数的应用，是高考题中的高频考点．
解题思路
本题考查数列与三角函数的知识，解题步骤如下：
1、利用通项公式求解。
2、利用函数图像性质代入求解。
易错点
三角函数图像易错。
知识点
20．某农场规划将果树种在正方形的场地内。为了保护果树不被风吹，决定在果树的周围种松树。 在下图里，你可以看到规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：
（1）按此规律，n = 5时果树数量及松树数量分别为多少；并写出果树数量
（2）定义：
正确答案
（1）n = 5时果树25棵，松树40棵；
（2）
当
当
解析
（1）观察图例可以看出规划种植果树的列数(n)，果树数量及松树数量的规律：果树的数量总等于n的平方，每条边上松树的数量总比前一个多两棵，四条边共多出八棵，满足等差数列的规律。由此可得：n = 5时果树25棵，松树40棵
（2）由题意和第一问得到的通项公式可得：
所以当
当
考查方向
解题思路
本题考查了观察归纳法求数列通项的基本能力，为了观察方便，可以把松树的变化规律先分解到四条边上分别考虑。
易错点
本题必须注意项数和项的值之间的关系，忽视则会出现错误。
知识点
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