数列求和、数列的综合应用
共491题

数列求和、数列的综合应用
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题型：简答题

简答题 · 12 分

19. 设等差数列的前n项和为

（I）求数列的通项公式；

（II）记，求.

正确答案

（1）；

（2）

解析

试题分析：本题属于数列应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难

（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，等比数列，公比为.

由题意可知：，

所以.得.

（Ⅱ）令，

相减得

考查方向

本题考查了利用等差数列性质求通项和错位相减法求和

解题思路

本题考查数列的性质，解题步骤如下：

1、利用基本量法求出通项；

2、利用错位相减法求和

易错点

第一问中的易计算出现问题。

知识点

等差数列的基本运算等差数列的性质及应用错位相减法求和

题型：填空题

填空题 · 4 分

16．已知，则

_______________。

正确答案

10000

解析

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知识点

倒序相加法求和

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数，记为的导数，。

（1）求的值；

（2）证明：对任意的，等式成立。

正确答案

见解析。

解析

(1)解：由已知，得

于是

所以

故

(2)证明：由已知，得等式两边分别对x求导，得，

即，类似可得

，

下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立。

(i)当n=1时，由上可知等式成立。

(ii)假设当n=k时等式成立, 即.

因为

，

所以.

所以当n=k+1时,等式也成立。

综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立。

令，可得()。

所以()。

知识点

倒序相加法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝，

(1)求cos A的值；

(2)若，b＝5，求向量在方向上的投影。

正确答案

见解析

解析

(1)由2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝，得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝，

即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝.

则cos(A－B＋B)＝，即cos A＝.

(2)由cos A＝，0＜A＜π，得sin A＝，

由正弦定理，有，

所以，sin B＝.

由题知a＞b，则A＞B，故.

根据余弦定理，有＝52＋c2－2×5c×，解得c＝1或c＝－7(舍去)。

故向量在方向上的投影为||cos B＝.

知识点

倒序相加法求和

题型：简答题

多选题

根据《票据法》的规定，下列属于支票绝对应记载事项的有( )。

A．付款人名称
B．确定的金额
C．付款地
D．付款日期

正确答案

A,B

解析

[解析] 支票绝对应记载的事项有：(1)表明“支票”的字样；(2)无条件支付的委托；(3)确定的金额；(4)付款人名称；(5)出票日期；(6)出票人签章。支票上未记载前述六项规定事项之一的，则支票无效。

题型：单选题

单选题 · 5 分

函数的零点个数为

正确答案

解析

在同一坐标系内画出函数和的图像，可得交点个数为3. 故选B.

知识点

倒序相加法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

20．已知A(,)，B(,)是函数的图象上的任意两点（可以重合），点M在直线上，且．

（1）求+的值及+的值

（2）已知，当时，+++，求；

（3）在（2）的条件下，设=，为数列{}的前项和，若存在正整数、，使得不等式成立，求和的值．

正确答案

解：
　　（1）∵点M在直线x=上，设M.
　　又＝，即，，
　　∴+=1.

① 当=时，=，+=；

② 当时，，
　　+=+===
　　综合①②得，+.
　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当+=1时, +
　　∴，k=.

n≥2时，+++　，　　　　　 ①
　　　，　　　　　②
　　①＋②得，2=-2(n-1),则=1-n.　　
　　当n=1时，=0满足=1-n. ∴=1-n.
　　（Ⅲ）==，=1++=.
　　.
　　=2-，=-2+=2-，
　　∴，、m为正整数，∴c=1，
　　当c=1时，，
　　∴1<<3，
　　∴m=1.

解析

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知识点

函数解析式的求解及常用方法相等向量与相反向量由递推关系式求数列的通项公式倒序相加法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

20. 已知数列｛an｝为等差数列，且满足an＋1＝an2－nan＋1，n＝1，2，3，…

（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；

（Ⅱ）求证：

（Ⅲ）当时，设，数列的前项和为，求证：.

正确答案

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用倒序相加法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

17.已知数列{an}的前n项和为Sn ，向量a= (S n ，1)，b= (2n — 1, ),满足条件a∥b,(1)求数列{an}的通项公式,(2)设函数f(x)= ()x，数列{bn}满足条件b1=1,f(bn+1) = .

①求数列{bn}的通项公式,

②设Cn =，求数列{ Cn }的前n项和Tn.

正确答案

（1）；

（2）①②

解析

（1）∵// ∴当时，当时，∴

（2）①∵， ∴，即∴，即是以1为首项，1为公差的等差数列，②，∴

考查方向

数列的通项公式和求和

解题思路

（1）利用求出通项

（2）①利用得到，利用定义求出通项公式；②利用错位相减法求出前n项和

易错点

1、利用定义求通项公式

2、第二问中错位相减法计算的准确性；

知识点

平行向量与共线向量平面向量的坐标运算由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和

题型：简答题

简答题 · 12 分

18．设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q．已知，，，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）当时，记，求数列的前n项和．

正确答案

（1）由题意有，即

解得或故或

（2）由，知，，故，于是

， ①

. ②

①-②可得

，

故.

解析

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知识点

由数列的前几项求通项错位相减法求和

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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