- 集合与常用逻辑用语
- 共2295题
下列命题错误的是（ ）
A命题“若
B若命题
C
D若
正确答案
解析
由原命题与逆否命题的关系可知A正确；由特称命题的否定可知B正确；由正弦定理和三角形边角关系可知C正确；若
知识点
命题p：∀x∈R，函数f(x)＝2cos2x＋sin2x≤3，则( )
正确答案
解析
f(x)＝2cos2x＋sin2x＝1＋cos2x＋sin2x＝1＋2sin≤3，所以p是真命题；綈p：∃x∈R，f(x)＝2cos2x＋sin2x>3.
知识点
已知a，b都是实数，命题“若a＋b>0，则a，b不全为0”的逆否命题是________。
正确答案
若a，b全为0，则a＋b≤0
解析
结论的否定是“a，b全为0”，条件的否定是“a＋b≤0”，一般情况下，改写命题时命题的大前提不变。
知识点
由命题“存在x∈R，使x2＋2x＋m≤0”是假命题，求得m的取值范围是(a，＋∞)，则实数a的值是________。
正确答案
1
解析
即对∀x∈R，x2＋2x＋m>0是真命题，即4－4m<0，解得m>1，故a＝1.
知识点
命题p：－2<m<0，0<n<1；命题q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件。
正确答案
见解析
解析
设关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根x1，x2，则x1＋x2＝－m，x1·x2＝n.
∵0<x1<1，0<x2<1，∴0<－m<2，0<n<1，∴－2<m<0，0<n<1，这说明p是q的必要条件。
设－2<m<0，0<n<1，关于x的方程x2＋mx＋n＝0不一定有两个小于1的正根，如m＝－1，n＝时，方程x2－x＋＝0没有实数根，这说明p不是q的充分条件。
综上，p是q的必要不充分条件。
知识点
命题甲：
正确答案
解析
甲
乙
此逆否命题为真命题，所以原命题为真命题。
知识点
设集合A＝{－1，p，2}，B＝{2，3}，则“p＝3”是“A∩B＝B”的( )
正确答案
解析
p＝3⇒A∩B＝B；若A∩B＝B，必有p＝3.
知识点
在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，4.给出如下四个结论：
①2 011∈[1]；
②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”。
其中正确命题的序号是________。
正确答案
①③④
解析
2011＝402×5＋1，所以2011∈[1]，结论①正确；－3＝－1×5＋2，所以－3∈[2]，但－3∉[3]，结论②不正确；整数可以分为五类，故这五类的并集就是整数集合，即Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；若整数a，b属于同一类，则a＝5n＋k，b＝5m＋k，a－b＝5(n－m)＋0∈[0]，反之，若a－b∈[0]，则a，b被5除有相同的余数，故a，b属于同一类，结论④正确。
知识点
命题：“∀x∈R，cos2x≤cos2x”的否定为( )
正确答案
解析
已知的命题是全称命题，其否定是特称命题。
知识点
已知命题p：方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若p，q都是假命题，求a的取值范围。
正确答案
见解析
解析
由a2x2＋ax－2＝0知a≠0，解此方程得x1＝，x2＝－。
∵方程a2x2＋ax－2＝0在[－1，1]上有解，∴≤1或≤1，∴|a|≥1.
只有一个实数满足不等式x2＋2ax＋2a≤0，表明抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个公共点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.
∴命题p为假，则－1<a<1；命题q为假，则a≠0且a≠2.
∴若p，q都是假命题，则a的取值范围是(－1，0)∪(0，1)。
知识点
已知命题
正确答案
解析
知识点
设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
正确答案
解析
解：选择C正确，下面给出证明。
证明：如图所示：
∵m∥n，∴m、n确定一个平面γ，交平面α于直线l。
∵m∥α，∴m∥l，∴l∥n。
∵n⊥β，∴l⊥β，
∵l⊂α，∴α⊥β。
故C正确。
故选C。
知识点
△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是 （写出正确命题的编号）。
①总存在某内角α，使cosα≥
②若AsinB＞BsinA，则B＞A。
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a
⑤若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB。
正确答案
①④⑤
解析
①若cosα≥
②设函数f（x）=
③在斜三角形中，由tan（A+B）=
④若2a
⑤若a＜tb（0＜t≤1），则由正弦定理得，sinA＜tsinB，令f（x）=tsinx﹣sin（tx），则f′（x）=tcosx﹣tcos（tx），由于0＜tx＜x＜π，则cos（tx）＞cosx，即f′（x）＜0，tsinx＜sin（tx）即tsinB＜sin（tB），故有sinA＜sin（tB），即2cos
故答案为：①④⑤
知识点
下列命题正确的是
A存在x∈R，使得
B存在x∈R，使得
C若x=3，则x2-2x-3=0的否命题是：若x≠3，则x2-2x-3≠0.
D若
正确答案
解析
命题的否定和否命题的区别:对命题的否定只是否定命题的结论，而否命题，既否定假设，又否定结论。
A选项对命题的否定是： 存在
B选项对命题的否定是 ： 存在
D选项则命题p与q也可能都是假命题。
知识点
已知
正确答案
解析
由
取
知识点
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