- 函数的概念与基本初等函数
- 共8430题
已知函数,
.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若函数在
处取得极值,对
,
恒成立,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)当时,
的递减区间是
,无递增区间;当
时,
的递增区间是
,递减区间是
(2)
解析
(1)在区间上,
. ……………………1分
①若,则
,
是区间
上的减函数; ……………3分
②若,令
得
.
在区间上,
,函数
是减函数;
在区间上,
,函数
是增函数;
综上所述,①当时,
的递减区间是
,无递增区间;
②当时,
的递增区间是
,递减区间是
. …………6分
(2)因为函数在
处取得极值,所以
解得,经检验满足题意. …………7分
由已知则
…………………8分
令,则
…………………10分
易得在
上递减,在
上递增, …………………12分
所以,即
。 …………13分
知识点
已知函数,
.
(1)若曲线在点(1,0)处的切线斜率为0,求a,b的值;
(2)当,且ab=8时,求函数
的单调区间,并求函数在区间[-2,-1]上的最小值。
正确答案
见解析
解析
(1)函数h(x)定义域为{x|x≠-a},…………………………………………………1分
则, …………………………………………………3分
h(x)在点(1,0)处的切线斜率为0,
即
,解得
或
……………………6分
(2)记(x)=
,则
(x)=(x+a)(bx2+3x)(x≠-a),
ab=8,所以
,
(x≠-a),
,
令,得
,或
, …………………………………………………8分
因为
,
所以
,
故当
,或
时,
,当
时,
,
函数
(x)的单调递增区间为
,
单调递减区间为, ………………………………………………………10分
,
,
,
① 当,即
时,
(x)在[-2,-1]单调递增,
(x)在该区间的最小值为
, ………………………………………11分
② 当时,即
,
(x)在[-2,
单调递减, 在
单调递增,
(x)在该区间的最小值为
,………………………………………………12分
③当时,即
时,
(x)在[-2,-1]单调递减,
(x)在该区间的最小值为
,………13分
综上所述,当时,最小值为
;当
时,最小值为
;当
时,最小值为
.
知识点
已知函数
的最大值为
,最小值为
,则
的值为__.
正确答案
2
解析
略
知识点
已知函数的最小正周期是
,那么正数
( )
正确答案
解析
略
知识点
设函数则下列结论错误的是( )
正确答案
解析
A显然正确;
∵=D(x),∴D(x)是偶函数,B正确;
∵D(x+1)==D(x),∴T=1为其一个周期,故C错误;
∵D()=0,D(2)=1,D(
)=0,显然函数D(x)不是单调函数,D正确
知识点
已知f是有序数对集合上的一个映射,正整数数对
在映射f下的象为实数z,记作
. 对于任意的正整数
,映射
由下表给出:
则__________,使不等式
成立的x的集合是_____________.
正确答案
8;
解析
略
知识点
已知函数(
)。
(1)试讨论在区间
上的单调性;
(2)当时,曲线
上总存在相异两点
,
,使得曲线
在点
,
处的切线互相平行,求证:
.
正确答案
见解析
解析
(1)解:由已知,
.
由,得
,
.
因为,所以
,且
。
所以在区间上,
;在区间
上,
.
故在
上单调递减,在
上单调递增,
(2)证明:由题意可得,当时,
(
,且
)。
即 ,
所以,
.
因为,且
,所以
恒成立,
所以,又
,
所以,整理得
.
令,因为
,所以
在
上单调递减,
所以在
上的最大值为
,
所以.
知识点
在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点,如果函数的图象恰好通过
个整点,则称函数
为
阶整点函数。有下列函数:
① ; ②
③
④
,
其中是一阶整点函数的是( )
正确答案
解析
略
知识点
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,P是线段AD的中点。
(1)在平面ABC内,试作出过点P与平面A1BC平行的直线l,说明理由,并证明直线l⊥平面ADD1A1;
(2)设(1)中的直线l交AB于点M,交AC于点N,求二面角A-A1M-N的余弦值。
正确答案
见解析
解析
(1)如图,在平面ABC内,过点P作直线l∥BC,
因为l在平面A1BC外,BC在平面A1BC内,由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面A1BC。
由已知,AB=AC,D是BC的中点,
所以,BC⊥AD,则直线l⊥AD。
因为AA1⊥平面ABC,
所以AA1⊥直线l.
又因为AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交,
所以直线l⊥平面ADD1A1.
(2)解法一:
连接A1P,过A作AE⊥A1P于E,过E作EF⊥A1M于F,连接AF.
由(1)知,MN⊥平面AEA1,
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE.
所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF.
故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ)。
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.
又P为AD的中点,
所以M为AB中点,且AP=,AM=1,
所以,在Rt△AA1P中,A1P=;在Rt△A1AM中,A1M=
.
从而,
.
所以sin θ=.
所以cos θ=.
故二面角A-A1M-N的余弦值为.
解法二:设A1A=1.如图,过A1作A1E平行于B1C1,以A1为坐标原点,分别以,
,
的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz(点O与点A1重合)。
则A1(0,0,0),A(0,0,1)。
因为P为AD的中点,
所以M,N分别为AB,AC的中点。
故M,N
.
所以=
,
=(0,0,1),
=(
,0,0)。
设平面AA1M的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
故有
从而
取x1=1,则y1=,
所以n1=(1,,0)。
设平面A1MN的一个法向量为n2=(x2,y2,z2),
则即
故有
从而
取y2=2,则z2=-1,所以n2=(0,2,-1)。
设二面角A-A1M-N的平面角为θ,
又θ为锐角,
则cos θ=
=.
故二面角A-A1M-N的余弦值为.
知识点
____ __。
正确答案
3
解析
略
知识点
已知函数,其中
为正实数,
。
(1)若是
的一个极值点,求
的值;
(2)求的单调区间。
正确答案
(1)
(2) 当时,
的单调递增区间为
,
;
的单调递减区间为
;当
时,
的单调递增区间为
解析
。
(1)因为是函数
的一个极值点,
所以,因此
,解得
。
经检验,当时,
是
的一个极值点,故所求
的值为
,………………4分
(2) 令
得
……①
(1)当,即
时,方程①两根为
。
此时与
的变化情况如下表:
所以当时,
的单调递增区间为
,
;
的单调递减区间为
。
(2)当时,即
时,
,
即,此时
在
上单调递增。
所以当时,
的单调递增区间为
,………………………13分
知识点
已知函数,则
____________。
正确答案
解析
略
知识点
已知函数的零点为
, 则
所在区间为( )
正确答案
解析
∵函数f(x)=3x+x﹣9在R上连续,f()=
+
﹣9<0,f(
)=
+
﹣9>0,
f()f(
)<0,故函数的零点x0所在区间为[
,
],
故选D
知识点
设M是由满足下列条件的函数构成的集合:“①方程
有实数根;②函数
的导数
满足
”。
(1)判断函数是否是集合M中的元素,并说明理由;
(2)集合M中的元素具有下面的性质:若
的定义域为D,则对于任意[m,n]
D,都存在
[m,n],使得等式
成立”,试用这一性质证明:方程
只有一个实数根;
(3)设是方程
的实数根,求证:对于
定义域中任意的
,当
,且
时,
。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,
所以,满足条件
.
又因为当时,
,所以方程
有实数根
。
所以函数是集合M中的元素。
(2)假设方程存在两个实数根
),
则,
不妨设,根据题意存在数
使得等式成立,
因为,所以
,与已知
矛盾,
所以方程只有一个实数根;
(3)不妨设,因为
所以
为增函数,所以
,
又因为,所以函数
为减函数,
所以,
所以,即
,
所以。
知识点
一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“”图案,如图所示,设小矩形的长、宽分别为
、
,剪去部分的面积为
,若
,记
,则
的图象是( )。
正确答案
解析
由题意,得,答案:
。
知识点
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