- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知不等式ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则不等式bx2-5x+a＞0的解集为______．
正确答案
解析
解：∵ax2-5x+b＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，
∴ax2-5x+b=0的根为-3、2，
即-3+2=
-3×2=
解得a=-5，b=30
则不等式bx2-5x+a＞0可化为
30x2-5x-5＞0
解得
故答案：
若m＜n，p＜q，且（p-m）（p-n）＜0，（q-m）（q-n）＜0，则m、n、p、q的大小顺序是______．
正确答案
m＜p＜q＜n
解析
解：∵（q-m）（q-n）＜0，
∴m，n一个大于q，一个小于q．
∵m＜n，
∴m＜q＜n．
∵（p-m）（p-n）＞0，
∴m，n一个大于p，一个小于p．
∵m＜n，
∴m＜p＜n．
∵p＜q，∴m＜p＜q＜n．
故答案为：m＜p＜q＜n
已知函数y=
正确答案
解：函数y=
当m=0时，有8＞0，显然成立；
当m≠0时，有
解之得 0＜m≤1．
综上所述得 0≤m≤1．
解析
解：函数y=
当m=0时，有8＞0，显然成立；
当m≠0时，有
解之得 0＜m≤1．
综上所述得 0≤m≤1．
若关于x的不等式x2-px-q＜0的解集为（2，3），则关于x的不等式qx2-px-1＞0的解集为（ ）
A（2，3）
B（-3，-2）
C（
D（-
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式x2-px-q＜0的解集为（2，3），
∴2，3是方程x2-px-q=0的两个实数根，∴
∴关于x的不等式qx2-px-1＞0可 化为-6x2-5x-1＞0，即6x2+5x+1＜0，
∴（3x+1）（2x+1）＜0，∴
∴关于x的不等式qx2-px-1＞0的解集为
故选D．
已知
（1）求f（x）及f-1（x）的表达式．
（2）若当x∈（-1，1）时，不等式
正确答案
解：（1）因为f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，所以f（0）=0，
即
设
又
即
（2）
得m2≥1-x2，，所以不等式m2≥（1-x2）max，----------------------------------------------------（10分）
由x∈（-1，1）知则m≥1．----------------------------------------------------（12分）
解析
解：（1）因为f（x）是奇函数，且在x=0处有意义，所以f（0）=0，
即
设
又
即
（2）
得m2≥1-x2，，所以不等式m2≥（1-x2）max，----------------------------------------------------（10分）
由x∈（-1，1）知则m≥1．----------------------------------------------------（12分）
若不等式x2-ax+4＜0的解集为（1，4），求a=______．
正确答案
5
解析
解：由题意不等式x2-ax+4＜0的解集是（1，4），故1，4是方程x2-ax+4=0的两个根，
∴1+4=a，∴a=5，
故答案为：5．
已知不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（1）求a的值；
（2）解关于x的不等式（c-x）（ax+2）＞0（c为常数）．
正确答案
解：（1）∵不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞2}，
∴a＞0，1，2是方程ax2-3x+2=0的解，
∴
（2）关于x的不等式（c-x）（ax+2）＞0即（c-x）（x+2）＞0，
即（x-c）（x+2）＜0，
∴当c=-2时，（x+2）2＜0，解集为∅；
当c＞-2时，解集为（-2，c）；
当c＜-2时，解集为（c，-2）．
解析
解：（1）∵不等式ax2-3x+6＞4的解集为{x|x＜1或x＞2}，
∴a＞0，1，2是方程ax2-3x+2=0的解，
∴
（2）关于x的不等式（c-x）（ax+2）＞0即（c-x）（x+2）＞0，
即（x-c）（x+2）＜0，
∴当c=-2时，（x+2）2＜0，解集为∅；
当c＞-2时，解集为（-2，c）；
当c＜-2时，解集为（c，-2）．
已知关于x的不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（0，8）
解析
解：因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8
故答案为：（0，8）．
解集为（-2，1）∪（1，3）的一个不等式为______．
正确答案
解析
解：当解集为-2＜x＜3时，
构造的不等式（x+2）（x-3）＜0即x2-x-6＜0，
又因为x≠1，故构造一个分式的分母（x-1）2故构造解集为（-2，1）∪（1，3）的一个不等式为
故答案为：
已知0＜b＜1+a，记关于x的不等式（x-b）2＞（ax）2的解集为M．
（1）若集合M中的整数有无限个，求a的范围；
（2）若集合M中的整数恰有3个，求证：1＜a＜3．
正确答案
解：（1）由（x-b）2＞（ax）2 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1时，不等式化为（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜
②1-a≠0，即a≠1时，若要有无数个整数解，则应1-a＞0，即a＜1；
再由已知条件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
综上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1时，x的解在两个实数之间，不等式即（x-
又可得
若要M中的整数恰有3个，则 
所以，
综上可知1＜a＜3．
解析
解：（1）由（x-b）2＞（ax）2 得[（1+a）x-b][（1-a）x-b]＞0，由于0＜b＜1+a，
①若1-a=0，即a=1时，不等式化为（2x-b）（-b）＞0，
解得M={x|x＜
②1-a≠0，即a≠1时，若要有无数个整数解，则应1-a＞0，即a＜1；
再由已知条件0＜b＜1+a，可得a＞-1．
综上可知-1＜a≤1．
（2）由（1）知1-a＜0，即a＞1时，x的解在两个实数之间，不等式即（x-
又可得
若要M中的整数恰有3个，则
所以，
综上可知1＜a＜3．
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