- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
（2015•佳木斯校级三模）已知a，b∈R，满足a2+3ab+9b2=4，则Z=a2+9b2的取值范围为______．
正确答案
[
解析
解：∵a2+3ab+9b2=4，∴Z=a2+9b2=4-3ab
∵由基本不等式，得a2+9b2≥|6ab|，
∴|6ab|≤4-3ab，得-4+3ab≤6ab≤4-3ab
解这个不等式，得-
∴Z=a2+9b2=4-3ab∈[
故答案为：[
若不等式x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，
Aa≤-2
Ba≤-
C
Da≥2
正确答案
解析
解：x2+ax+1≥0对于一切x∈（0，
⇔a≥
⇔a
∵y=
∴
∴a≥
故选C
不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-1，3），则不等式ax2-bx+c＜0的解集是______．
正确答案
{x|x＜-3或x＞1}
解析
解：不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-1，3），
所以
不等式ax2-bx+c＜0，两边同乘
可化为不等式x2+2x-3＞0，
不等式的解集为{x|x＜-3或x＞1}
故答案为：{x|x＜-3或x＞1}．
解关于x的不等式
正确答案
解：配方可化原不等式为
当m+3＜0，即m＜-3时，不等式的解集为R；
当m+3=0，即m=-3时，原不等式可化为
可得不等式的解集为{x|x≠-6}；
当m+3＞0，即m＞-3时，原不等式可化为（x-2m）2＞（m+3）2，
变形可得x2-4mx+3m2-6m-9＞0，即[x-（m-3）][x-3（m+1）]＞0，
∵m-3-3（m+1）=-2m-6＜0，∴m-3＜3（m+1），
∴不等式的解集为{x|x＜m-3或x＞3（m+1）}
解析
解：配方可化原不等式为
当m+3＜0，即m＜-3时，不等式的解集为R；
当m+3=0，即m=-3时，原不等式可化为
可得不等式的解集为{x|x≠-6}；
当m+3＞0，即m＞-3时，原不等式可化为（x-2m）2＞（m+3）2，
变形可得x2-4mx+3m2-6m-9＞0，即[x-（m-3）][x-3（m+1）]＞0，
∵m-3-3（m+1）=-2m-6＜0，∴m-3＜3（m+1），
∴不等式的解集为{x|x＜m-3或x＞3（m+1）}
已知f（x）=x|x-2|，则不等式f（x）≤f（1）的解集为______．
正确答案
（-∞，
解析
解：f（1）=1，
①x≥2时，
f（x）=x（x-2）≤f（1）=1，
∴x2-2x-1≤0，解得：2≤x≤
②x＜2时，
f（x）=x（2-x）≤1，
∴x2-2x+1≥0，（x-1）2≥0，
综上：x≤
故答案为：（-∞，
已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集为（-2，3），则关于x的不等式cx+b
正确答案
[0，
解析
解：∵（x+2）（x-3）＜0的解集为（-2，3）
则-x2+x+6＞0与ax2+bx+c＞0是同解不等式，
∴a=-1，b=1，c=6
则关于x的不等式cx+b
∴6
解得0≤x＜
故关于x的不等式cx+b
故答案为：[0，
已知关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
（1）求实数a的取值范围；
（2）求集合A．
正确答案
解：（1）∵关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
∴当x=3时，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0
∴3（a-2）-（a-4）≤0
∴a≤1
∴实数a的取值范围是（-∞，1]；
（2）由（1）知，a-2＜0
∴不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化为（x-2）（x-
由
当0＜a≤1时，
当a=0时，原不等式解集A为空集；
当a＜0时，
综上所述，当0＜a≤1时，集合A=
当a=0时，集合A为空集；
当a＜0时，集合
解析
解：（1）∵关于x的不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0的解集为A，且3∉A．
∴当x=3时，（x-2）[（a-2）x-（a-4）]≤0
∴3（a-2）-（a-4）≤0
∴a≤1
∴实数a的取值范围是（-∞，1]；
（2）由（1）知，a-2＜0
∴不等式（x-2）[（a-2）x-（a-4）]＞0可化为（x-2）（x-
由
当0＜a≤1时，
当a=0时，原不等式解集A为空集；
当a＜0时，
综上所述，当0＜a≤1时，集合A=
当a=0时，集合A为空集；
当a＜0时，集合
给定区间（a，b），定义其区间长度为b-a．设f（x）是一次函数，且满足f（0）=-5，f[f（0）]=-15，若不等式f（x）f（m-x）＞0的解集形成的区间长度为2，则实数m的所有可能取值为______．
正确答案
3或7
解析
解：设f（x）=kx+b，则
∵f（0）=-5，f[f（0）]=-15，
∴b=-5，k=2
∴f（x）=2x-5
∴不等式f（x）f（m-x）＞0可化为（2x-5）（2x-2m+5）＜0
∴（2x-5）（2x-2m+5）=0的根为
∵不等式f（x）f（m-x）＞0的解集形成的区间长度为2，
∴
∴m=3或7
故答案为：3或7
如果关于x的不等式ax2-4|x+1|+2a＜0无实数根，则a的取值范围是______．
正确答案
[1+
解析
解：当a=0时，-4|x+1|＜0的解集不是空集；这种情况舍去．
当a＜0，因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，
所以ax2-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，
当x≤-1时，不等式ax2-4|x+1|+2a＜0即为ax2+4x+2a+4＜0，
对称轴为x=-
∵关于x的不等式ax2-4|x+1|+2a＜0无实数根，即解集为空集，
设f（x）=ax2-4|x+1|+2a，
∴f（x）min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a＞0；
当x＞-1时，不等式ax2-4|x+1|+2a＜0为ax2-4x+2a-4＜0，
对称轴为x=
∵关于x的不等式ax2-4|x+1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）min=f（
∴a≥1+
综上得：a≥1+
故答案为：[1+
已知关于x的不等式k（x-2）＞x+6
（1）解该不等式；
（2）若1不是不等式的解，0是不等式的解，求k的取值范围．
正确答案
解：（1）∵k（x-2）＞x+6，
∴（k-1）x＞2k+6，
当k=1时，x∈∅；
当k＞1时，x＞
当k＜1时，x＜
综上所述，k＜1时，不等式的解集为{x|x＜
（2）∵0是不等式的解，
∴-2k＞6，整理得：k＜-3；①
又1不是不等式的解，
∴k（1-2）≤1+6，整理得：k≥-7；②
由①②得：-7≤k＜-3．
即k的取值范围为[-7，-3）．
解析
解：（1）∵k（x-2）＞x+6，
∴（k-1）x＞2k+6，
当k=1时，x∈∅；
当k＞1时，x＞
当k＜1时，x＜
综上所述，k＜1时，不等式的解集为{x|x＜
（2）∵0是不等式的解，
∴-2k＞6，整理得：k＜-3；①
又1不是不等式的解，
∴k（1-2）≤1+6，整理得：k≥-7；②
由①②得：-7≤k＜-3．
即k的取值范围为[-7，-3）．
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