- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知f（x）为R上的增函数，则满足f（x2）≤f（1）的实数x的取值范围是______．
正确答案
{x|-1≤x≤1}
解析
解：由f（x）为R上的增函数，且满足f（x2）≤f（1），
得到x2≤1，解得：-1≤x≤1，
则实数x的取值范围是：{x|-1≤x≤1}．
故答案为：{x|-1≤x≤1}
解关于x的不等式（ax-2a）（x+a-1）＜0．
正确答案
解：当a=0时，不等式化为0＜0，此时不等式无解；
a＞0时，原不等式化为（x-2）（x+a-1）＜0，
它对应方程的两个实数根是2和1-a，且2＞1-a，
∴不等式的解集为{x|1-a＜x＜2}；
当a＜0时，原不等式化为（x-2）（x+a-1）＞0，
它对应方程的两个实数根为2和1-a，
若a=-1，则2=1-a，不等式化为（x-2）2＞0，它的解集为{x|x≠2}；
若-1＜a＜0，则2＞1-a，不等式的解集为{x|x＜1-a或x＞2}；
若a＜-1，则2＜1-a，不等式的解集为{x|x＜2或x＞1-a}；
综上，a=0时，不等式无解，
a＞0时，不等式的解集为{x|1-a＜x＜2}，
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1-a或x＞2}；
a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞1-a}．
解析
解：当a=0时，不等式化为0＜0，此时不等式无解；
a＞0时，原不等式化为（x-2）（x+a-1）＜0，
它对应方程的两个实数根是2和1-a，且2＞1-a，
∴不等式的解集为{x|1-a＜x＜2}；
当a＜0时，原不等式化为（x-2）（x+a-1）＞0，
它对应方程的两个实数根为2和1-a，
若a=-1，则2=1-a，不等式化为（x-2）2＞0，它的解集为{x|x≠2}；
若-1＜a＜0，则2＞1-a，不等式的解集为{x|x＜1-a或x＞2}；
若a＜-1，则2＜1-a，不等式的解集为{x|x＜2或x＞1-a}；
综上，a=0时，不等式无解，
a＞0时，不等式的解集为{x|1-a＜x＜2}，
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠2}；
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1-a或x＞2}；
a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞1-a}．
x2-3x-10＜0的一个必要不充分条件是（ ）
正确答案
解析
解：由不等式x2-3x-10＜0，因式分解得：（x-5）（x+2）＜0，
可化为：
所以x2-3x-10＜0的一个必要不充分条件可以是：-2＜x＜6．
故选D
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，x∈R）的部分对应值如下列：
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______．
正确答案
（-∞，-2）∪（3，+∞）
解析
解：由表格可知：抛物线开口向上，∴a＞0．对称轴为
∴函数f（x）在
∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-∞，-2）∪（3，+∞）．
故答案为：（-∞，-2）∪（3，+∞）．
下列各一元二次不等式中，解集为空集的是（ ）
正确答案
解析
解：A、（x+3）（x-1）＞0，
可化为
解得：x＞1或x＜-3，
不为空集，本选项错误；
B、（x+4）（x-1）＜0，
可化为
解得：-4＜x＜1，
不为空集，本选项错误；
C、设y=x2-2x+3，为开口向上的抛物线，
且△=b2-4ac=-8＜0，即抛物线与x轴没有交点，
所y＞0，即x2-2x+3＞0，
则x2-2x+3＜0的解集为空集，本选项正确；
D、2x2-3x-2＞0，
因式分解得：（2x+1）（x-2）＞0，
可化为：
解得：x＞2或x＜-
不为空集，本选项错误，
故选C．
不等式（1+x）（2-x）＞0的解集为（ ）
正确答案
解析
解：不等式（x+1）（2-x）＞0，
即（x+1）（x-2）＜0，
可化为：
解得：-1＜x＜2，
则原不等式的解集为（-1，2）．
故选C．
求不等式x2-2x-3＜0的解集．
正确答案
解：∵方程x2-2x-3=0的实数根是x1=-1，x2=3；
∴不等式x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}．
解析
解：∵方程x2-2x-3=0的实数根是x1=-1，x2=3；
∴不等式x2-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}．
若不等式（a2-3）x2+5x-2＞0的解集为（
正确答案
±1
解析
解：（1）∵不等式（a2-3）x2+5x-2＞0的解集为（
∴a2-3＜0，且
∴
故答案为±1
不等式ax2-2ax-4＜0对一切实数都成立．求实数a的取值范围．
正确答案
解：a=0时，-4＜0，对一切实数x都成立，满足题意；
a≠0时，一元二次不等式ax2-2ax-4＜0对一切x∈R恒成立，
则
解得-4＜a＜0；
综上，a的取值范围是{a|-4＜a≤0}．
解析
解：a=0时，-4＜0，对一切实数x都成立，满足题意；
a≠0时，一元二次不等式ax2-2ax-4＜0对一切x∈R恒成立，
则
解得-4＜a＜0；
综上，a的取值范围是{a|-4＜a≤0}．
若二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|
正确答案
{x|x＞1或x＜-10}
解析
解：∵二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|
∴a＜0且
∴不等式2cx2-2bx-a＜0可化为
两边同除以
分解因式可得（x-1）（x+10）＞0
解得x＞1或x＜-10，
故答案为：{x|x＞1或x＜-10}
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