- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知函数y=
（1）求a的取值范围．
（2）若函数的最小值为
正确答案
解：（1）函数y=
∴ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；
当a≠0时，须
即
解得0＜a≤1；
综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函数y的最小值为
∴
∴ax2+2ax+1≥
当a=0时，不满足条件；
当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是
∴不等式x2-x-a2-a＜0可化为x2-x-
解得-
∴不等式的解集是{x|-
解析
解：（1）函数y=
∴ax2+2ax+1≥0恒成立，
当a=0时，1＞0恒成立，满足题意；
当a≠0时，须
即
解得0＜a≤1；
综上，a的取值范围是{a|0≤a≤1}；
（2）∵函数y的最小值为
∴
∴ax2+2ax+1≥
当a=0时，不满足条件；
当1≥a＞0时，ax2+2ax+1的最小值是
∴不等式x2-x-a2-a＜0可化为x2-x-
解得-
∴不等式的解集是{x|-
解关于x的不等式（m+3）x2+（m+2）x-1＞0（m∈R）．
正确答案
解：当m+3=0即m=-3时，不等式化为-x-1＞0，解得x＜-1；
当m+3≠0即m≠-3时，不等式化为[（m+3）x-1]（x+1）＞0，
且不等式对应的方程两个实数根为x=
若m=-4，则
若m＜-4，则0＞
若-3＞m＞-4，则
若m＞-3，则
所以，m=-3时，不等式的解集为{x|x＜-1}；
m=-4时，不等式的解集为∅，
m＜-4时，不等式的解集为{x|-1＜x＜
-4＜m＜-3时，不等式的解集为{x|
m＞-3时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞
解析
解：当m+3=0即m=-3时，不等式化为-x-1＞0，解得x＜-1；
当m+3≠0即m≠-3时，不等式化为[（m+3）x-1]（x+1）＞0，
且不等式对应的方程两个实数根为x=
若m=-4，则
若m＜-4，则0＞
若-3＞m＞-4，则
若m＞-3，则
所以，m=-3时，不等式的解集为{x|x＜-1}；
m=-4时，不等式的解集为∅，
m＜-4时，不等式的解集为{x|-1＜x＜
-4＜m＜-3时，不等式的解集为{x|
m＞-3时，不等式的解集为{x|x＜-1或x＞
不等式5x2-3x-8＞0的解集为（ ）
A（-1，
B（-∞，-1）∪（
C∅
DR
正确答案
解析
解：不等式5x2-3x-8＞0可化为
（x+1）（5x-8）＞0，
该不等式对应方程的实数根为-1和
∴该不等式的解集为（-∞，-1）∪（
故选：B．
已知a为负的实常数，解关于x的不等式：ax2-a2x-x+a＜0．
正确答案
解：不等式ax2-a2x-x+a＜0可化为
ax2-（a2+1）x+a＜0，
即（ax-1）（x-a）＜0；
又a＜0，∴原不等式可化为（x-
当a＜-1时，
∴不等式的解集为{x|x＜a或x＞
当a=-1时，
当-1＜a＜0时，
综上，a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}，
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜
解析
解：不等式ax2-a2x-x+a＜0可化为
ax2-（a2+1）x+a＜0，
即（ax-1）（x-a）＜0；
又a＜0，∴原不等式可化为（x-
当a＜-1时，
∴不等式的解集为{x|x＜a或x＞
当a=-1时，
当-1＜a＜0时，
综上，a＜-1时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞
a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}，
-1＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜
不等式（3x-1）（x-2）＞0的解集为（ ）
A{x|x＜
B{x|1＜x＜2}
C{x|x＜-2}或{x＞1}
D{x|
正确答案
解析
解：（3x-1）（x-2）=0的两个根为
∴不等式（3x-1）（x-2）＞0的解集为
故选A
如果关于x的不等式（1-m2）x2-（1+m）x-1＜0的解集是R，则实数m的取值范围是______．
正确答案
m≤-1或m＞
解析
解：令1-m2=0，解得m=±1；
当m=1，不等式化为-2x-1＜0，不满足题意；
当m=-1时，不等式化为-1＜0，满足条件；
当m≠±1时，根据题意得，
解得
即m＜-1，或m＞
综上，实数m的取值范围是m≤-1或m＞
故答案为：m≤-1或m＞
若关于x的不等式（1+k）x2+kx+k＜x2+1的解集为空集，则实数k的范围为（ ）
A[
B（0，+∞）
C[0，+∞）
D（-1，1）
正确答案
解析
解：不等式（1+k）x2+kx+k＜x2+1化为kx2+kx+k-1＜0．
当k=0时，不等式化为-1＜0，其解集为R，不符合题意，应舍去．
当k≠0时，关于x的不等式（1+k）x2+kx+k＜x2+1的解集为空集，∴
即
综上可得：实数k的范围为
故选：A．
设集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2-2x-3＜0}，则A∩B=（ ）
正确答案
解析
解：由x2-2x-3＜0，得：-1＜x＜3．
所以B={x|x2-2x-3＜0}={x|-1＜x＜3}，
又A={-1，0，1，2}，
所以A∩B={-1，0，1，2}∩{x|-1＜x＜3}={0，1，2}．
故选D．
集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}．
①若A∩B=[0，3]，求实数m的值；
②若A⊆CRB，求实数m的取值范围；
③若m=3，试定义一种新运算A△B，使A△B={x|3＜x≤5}．
正确答案
解：由已知得：A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2}．
①∵A∩B=[0，3]，∴
∴m=2
②CRB={x|x＜m-2，或x＞m+2}，∵A⊆CRB，
∴m-2＞3，或m+2＜-1，
∴m＞5，或m＜-3．
③若m=3，则A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}．
可得集合{x|x∈B且x∉A}={x|3＜x≤5}；
集合B∩CUA={x|3＜x≤5}．
故可定义A△B={x|x∈B且x∉A}，或A△B=B∩CUA
解析
解：由已知得：A={x|-1≤x≤3}，B={x|m-2≤x≤m+2}．
①∵A∩B=[0，3]，∴
∴m=2
②CRB={x|x＜m-2，或x＞m+2}，∵A⊆CRB，
∴m-2＞3，或m+2＜-1，
∴m＞5，或m＜-3．
③若m=3，则A={x|-1≤x≤3}，，B={x|1≤x≤5}．
可得集合{x|x∈B且x∉A}={x|3＜x≤5}；
集合B∩CUA={x|3＜x≤5}．
故可定义A△B={x|x∈B且x∉A}，或A△B=B∩CUA
不等式8x2-2x-3＞0的解集为______．
正确答案
解析
解：因式分解得：（2x+1）（4x-3）＞0，
∴不等式8x2-2x-3＞0的解集为
故答案为
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