- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
（1）已知f（x）=-3x2+a（6-a）x+b．当不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值．
（2）已知集合A={x|x2-x-6＞0}，B={x|0＜x+a＜4}，若A∩B=∅，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）由f（x）=-3x2+a（6-a）x+b，且不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），
得-1，3为方程-3x2+a（6-a）x+b=0的两个根，
则
（2）由A={x|x2-x-6＞0}={x|x＜-2或x＞3}，
B={x|0＜x+a＜4}={x|-a＜x＜4-a}，
若A∩B=∅，则
所以实数a的取值范围是[1，2]．
解析
解：（1）由f（x）=-3x2+a（6-a）x+b，且不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），
得-1，3为方程-3x2+a（6-a）x+b=0的两个根，
则
（2）由A={x|x2-x-6＞0}={x|x＜-2或x＞3}，
B={x|0＜x+a＜4}={x|-a＜x＜4-a}，
若A∩B=∅，则
所以实数a的取值范围是[1，2]．
若关于x的不等式0≤mx2+x+m≤1的解集为单元素集，则m的值为______．
正确答案
解析
解：∵mx2+x+m=m
故二次函数y=m
或二次函数y=m
∴
故答案为：
若关于x的不等式-
正确答案
-1
解析
解：原不等式化为
该不等式对应的方程为
该一元二次方程的两个实数根为0和2；
由根与系数的关系，得
-
解得m=-1．
故答案为：-1．
若关于x的不等式（2x-1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是（ ）
A
B
C
D（3，4）
正确答案
解析
解：因为不等式等价于（-a+4）x2-4x+1＜0，其中△=4a＞0，且有4-a＞0．
故0＜a＜4，不等式的解集为
由
∴
故选A．
（2015秋•葫芦岛校级期中）已知不等式5-x＞7|x+1|与不等式ax2+bx-2＞0的解集相同，则a=______；b=______．
正确答案
-4
-9
解析
解：5-x＞7|x+1|⇔
解得：-2＜x＜-
故ax2+bx-2=0的两根为-
由韦达定理得
解得
故答案为：-4；-9．
不等式（x-5）（6-x）＞6-x的解集是（ ）
正确答案
解析
解：不等式（x-5）（6-x）＞6-x可化为
（6-x）（x-5-1）＞0，
即（x-6）2＜0；
∴原不等式的解集是∅．
故选：C．
解不等式：
（1）x2-3ax+2a2＞0；
（2）x2+ax+1＞0；
（3）x2-（2m-3）x+m2-3m≤0．
正确答案
解：（1）x2-3ax+2a2＞0，因式分解为：（x-a）（x-2a）＞0，当a=0时，不等式化为x2＞0，解得解集为{x|x≠0}；
当a＞0时，2a＞a，不等式的解集为{x|x＞2a或x＜a}；
当a＜0时，2a＜a，不等式的解集为{x|x＞a或x＜2a}．
（2）x2+ax+1＞0，△=a2-4，
由△＜0，解得-2＜a＜2，此时不等式的解集为R；
由△=0，解得a=-2，或a=2，此时不等式的解集为{-1，1}；
由△＞0，解得2＜a或a＜-12，由x2+ax+1=0，解得x=
∴此时不等式的解集为{x|
（3）x2-（2m-3）x+m2-3m≤0，因式分解为（x-m）[x-（m-3）]≤0．
∵m-3＜m，
∴不等式的解集为{x|m-3≤x≤m}．
解析
解：（1）x2-3ax+2a2＞0，因式分解为：（x-a）（x-2a）＞0，当a=0时，不等式化为x2＞0，解得解集为{x|x≠0}；
当a＞0时，2a＞a，不等式的解集为{x|x＞2a或x＜a}；
当a＜0时，2a＜a，不等式的解集为{x|x＞a或x＜2a}．
（2）x2+ax+1＞0，△=a2-4，
由△＜0，解得-2＜a＜2，此时不等式的解集为R；
由△=0，解得a=-2，或a=2，此时不等式的解集为{-1，1}；
由△＞0，解得2＜a或a＜-12，由x2+ax+1=0，解得x=
∴此时不等式的解集为{x|
（3）x2-（2m-3）x+m2-3m≤0，因式分解为（x-m）[x-（m-3）]≤0．
∵m-3＜m，
∴不等式的解集为{x|m-3≤x≤m}．
不等式x2-5x+6＞0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：不等式x2-5x+6＞0化为（x-2）（x-3）＞0，解得3＜x或x＜2．
∴不等式的解集是{x|x＜2或x＞3}．
故选B．
正确答案
解：当k=0时，-
当k≠0时，有且只有
综上所述k的取值范围是（-3，0]．
解析
解：当k=0时，-
当k≠0时，有且只有
综上所述k的取值范围是（-3，0]．
当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是______．
正确答案
m≤-5
解析
解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．
则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，
①当图象对称轴x=-
②同理当-
由f（1）≤0解得m≤-5．综合①②得m范围m≤-5
法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立
即
故答案为 m≤-5
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