- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知a∈R+，函数f（x）=ax2+2ax+1，若f（m）＜0，比较大小：f（m+2）______1．（用“＜”或“=”或“＞”连接）．
正确答案
＞
解析
解：∵f（x）以x=-1为对称轴 又f（0）=1＞0，f（x）开口向上，f（m）＜0∴一定有-2＜m＜0
因此0＜m+2＜2
又因为f（x）在（-1，+∞）上单调递增
所以f（m+2）＞f（0）=1
故答案为：＞．
已知不等式x2-2x+a＞0对任意实数x∈[2，3]恒成立．则实数a的取值范围为______．
正确答案
a＞0
解析
解：令f（x）=x2-2x+a=（x-1）2+a-1，∴f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
又不等式x2-2x+a＞0对任意实数x∈[2，3]恒成立，∴f（2）＞0恒成立，
即4-4+a＞0，解得a＞0．
故实数a的取值范围是a＞0．
故答案为a＞0．
已知m＞n＞0，则m+
正确答案
解析
解：由m＞n＞0知m-n＞0，m+
∴当m-n=2时，m+
故选C．
若函数f（x）=
正确答案
解：∵f（x）的定义域为R，所以
即x2+2ax-a≥0恒成立，
∴△=4a2+4a≤0，解得-1≤a≤0．
故答案为：[-1，0]．
解析
解：∵f（x）的定义域为R，所以
即x2+2ax-a≥0恒成立，
∴△=4a2+4a≤0，解得-1≤a≤0．
故答案为：[-1，0]．
若关于x的不等式（2x-1）2＜ax2的解集中整数恰好有3个，则实数a的取值范围是______．
正确答案
解析
解：∵不等式等价于（-a+4）x2-4x+1＜0，
当a≥4时，显然不满足要求，
故4-a＞0且△=4a＞0，故0＜a＜4，
不等式的解集为
则一定有1，2，3为所求的整数解集．
所以
故答案：
设不等式ax2+bx+c＞0的解集为
正确答案
③④
解析
解：由题意可知：a＜0，①错误
-2，
又
令f（x）=ax2+bx+c，由题意可知f（-1）=a-b+c＞0④正确；
f（1）=a+b+c＜0，∴⑤a+b+c＞0错误；
故答案为：③④
关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，则关于x的不等式
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式ax+b＜0的解集为{x|x＞1}，
∴1是方程ax+b=0的根且a＜0，
∴a+b=0，a＜0，
∴不等式
解得-1＜x＜2
∴关于x的不等式
故选B．
解关于x不等式：
（1）ax2-（2a+2）x+4＞0（a∈R）
（2）x2+x+m≤0（m∈R）
正确答案
解：（1）不等式可化为（x-2）（ax-2）＞0，
①a=0时，解集为（2，+∞）；
②a＞1时，解集为（-∞，
③a＜0时，解集为（
④0＜a＜1时，解集为（-∞，2）∪（
⑤a=1时，解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）△=1-4m≤0，即m≥
m＜
解析
解：（1）不等式可化为（x-2）（ax-2）＞0，
①a=0时，解集为（2，+∞）；
②a＞1时，解集为（-∞，
③a＜0时，解集为（
④0＜a＜1时，解集为（-∞，2）∪（
⑤a=1时，解集为（-∞，2）∪（2，+∞）；
（2）△=1-4m≤0，即m≥
m＜
（1）若不等式ax2+5x-2＞0的解集是
（2）解关于x的不等式：x2-（a+a2）x+a3＜0．
正确答案
解：（1）∵ax2+5x-2＞0的解集是
∴a＜0，且
∴不等式ax2-5x+a2-1＞0可化为-2x2-5x+3＞0
解得 {x|-3＜x＜
故不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集{x|-3＜x＜
（2）x2-（a+a2）x+a3＜0可化为（x-a）（x-a2）＜0
①a=a2，即a=0或a=1时，解集为∅；
②a＜a2，即a＜0或a＞1时，解集为{x|a＜x＜a2}；
③a＞a2，即0＜a＜1时，解集为{x|a2＜x＜a}．
解析
解：（1）∵ax2+5x-2＞0的解集是
∴a＜0，且
∴不等式ax2-5x+a2-1＞0可化为-2x2-5x+3＞0
解得 {x|-3＜x＜
故不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集{x|-3＜x＜
（2）x2-（a+a2）x+a3＜0可化为（x-a）（x-a2）＜0
①a=a2，即a=0或a=1时，解集为∅；
②a＜a2，即a＜0或a＞1时，解集为{x|a＜x＜a2}；
③a＞a2，即0＜a＜1时，解集为{x|a2＜x＜a}．
若不等式ax2+bx+2＞0的解是
正确答案
解析
解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解是
∴a＜0且方程ax2+bx+2=0的解是2和-
∴
∴a=-2，b=3
∴不等式bx2+ax-1＜0即不等式3x2-2x-1＜0
解得-
∴不等式bx2+ax-1＜0的解集是
故答案为
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