一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：填空题

填空题

∃x∈[-1，1]使关于x的不等式x2-2m-5＞0能成立，则m取值范围是______．

正确答案

（-∞，-2）

解析

解：∵∃x∈[-1，1]使关于x的不等式x2-2m-5＞0能成立，

∴，x∈[-1，1]．

∴m＜-2．

故答案为：（-∞，-2）．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式：x2-（1+a）x+a＞0．

正确答案

解：∵x2-（1+a）x+a＞0，可化为（x-1）（x-a）＞0．

①当a＞1时，上述不等式的解集为{x|x＞a，或x＜1}；

②当a=1时，上述不等式可化为（x-1）2＞0，∴x≠1，即解集为{x|x≠1}；

③当a＜1时，上述不等式的解集为{x|x＞1，或x＜a}．

解析

解：∵x2-（1+a）x+a＞0，可化为（x-1）（x-a）＞0．

①当a＞1时，上述不等式的解集为{x|x＞a，或x＜1}；

②当a=1时，上述不等式可化为（x-1）2＞0，∴x≠1，即解集为{x|x≠1}；

③当a＜1时，上述不等式的解集为{x|x＞1，或x＜a}．

题型：简答题

简答题

解不等式30x2+ax＜a2．

正确答案

解：不等式30x2+ax＜a2可化为30x2+ax-a2＜0，

即（5x+a）（6x-a）＜0，

即（x+）（x-）＜0；

∴当a=0时，-=，不等式化为x2＜0，无解；

当a＜0时，-＞，解不等式得＜x＜-；

当a＞0时，-＜，解不等式得-＜x＜；

综上，a=0时，不等式的解集为∅，

a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜-}，

a＞0时，不等式的解集为{x|-＜x＜}．

解析

解：不等式30x2+ax＜a2可化为30x2+ax-a2＜0，

即（5x+a）（6x-a）＜0，

即（x+）（x-）＜0；

∴当a=0时，-=，不等式化为x2＜0，无解；

当a＜0时，-＞，解不等式得＜x＜-；

当a＞0时，-＜，解不等式得-＜x＜；

综上，a=0时，不等式的解集为∅，

a＜0时，不等式的解集为{x|＜x＜-}，

a＞0时，不等式的解集为{x|-＜x＜}．

题型：填空题

填空题

关于x的不等式ax2-（a+1）x+1＜0（a＜0）的解集为______．

正确答案

{x|x＞1或x＜}

解析

解：不等式可化为（ax-1）（x-1）＜0，

∵a＜0，

∴原不等式等价于（x-）（x-1）＞0，

且不等式对应的一元二次方程的根为和1；

又＜1，

原不等式的解集为{x|x＞1或x＜}．

故答案为：{x|x＞1或x＜}．

题型：单选题

单选题

不等式x（9-x）＞0的解集是（　　）

A（0，9）

B（9，+∞）

C（-∞，9）

D（-∞，0）∪（9，+∞）

正确答案

解析

解：不等式x（9-x）＞0⇔不等式x（x-9）＜0，

由于方程x（x-9）=0的两个根是0，9．

它的解集是（0，9）．

故选A．

题型：填空题

填空题

若实数a∈[0，1]时，不等式x2-ax-2＞0恒成立，则x的取值范围______．

正确答案

解析

解：构造函数f（a）=-xa+x2-2，则由题意，

∴，解得

故答案为

题型：单选题

单选题

已知不等式|x-2|＞1的解集与不等式x2+ax+b＞0的解集相同，则a，b的值为（　　）

Aa=1，b=3

Ba=3，b=1

Ca=-4，b=3

Da=3，b=-4

正确答案

解析

解：解不等式|x-2|＞1，得

x-2＞1或x-2＜-1，

即x＞3或x＜1；

∴方程x2+ax+b=0的两个根是1和3，

由根与系数的关系，得

a=-（1+3）=-4，b=1×3=3．

故选：C．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式，（a∈R）

（1）x2+ax+1＞0

（2）ax2+x+1＞0．

正确答案

解：（1）由题意得△=a2-4

①当△≥0时即a≥2或a≤-2时，

不等式的解集为{x|}

②当△＜0时即-2＜a＜2时，

不等式的解集为空集．

综上所述当a≥2或a≤-2时，不等式的解集为{x|}

当-2＜a＜2时，不等式的解集为空集．

（2）①当a=0时原不等式为x+1＞0，所以不等式的解集为{x|x＞-1}．

②当a＞0时△=1-4a

1）△=1-4a≥0时即0＜a≤时原不等式的解集为{x|x＞或x＜}

2）△=1-4a＜0时即a＞时原不等式的解集为空集．

③当a＜0时△=1-4a

1）△=1-4a≥0时即a＜0时原不等式的解集为{x|}，

2））△=1-4a＜0时即a＞时此时a不存在．

综上所述当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}，

当0＜a≤时原不等式的解集为{x|x＞或x＜}，

当a＞时原不等式的解集为空集，

当a＜0时原不等式的解集为{x|}．

解析

解：（1）由题意得△=a2-4

①当△≥0时即a≥2或a≤-2时，

不等式的解集为{x|}

②当△＜0时即-2＜a＜2时，

不等式的解集为空集．

综上所述当a≥2或a≤-2时，不等式的解集为{x|}

当-2＜a＜2时，不等式的解集为空集．

（2）①当a=0时原不等式为x+1＞0，所以不等式的解集为{x|x＞-1}．

②当a＞0时△=1-4a

1）△=1-4a≥0时即0＜a≤时原不等式的解集为{x|x＞或x＜}

2）△=1-4a＜0时即a＞时原不等式的解集为空集．

③当a＜0时△=1-4a

1）△=1-4a≥0时即a＜0时原不等式的解集为{x|}，

2））△=1-4a＜0时即a＞时此时a不存在．

综上所述当a=0时，不等式的解集为{x|x＞-1}，

当0＜a≤时原不等式的解集为{x|x＞或x＜}，

当a＞时原不等式的解集为空集，

当a＜0时原不等式的解集为{x|}．

题型：填空题

填空题

不等式x2≤0的解集是______．

正确答案

{0}

解析

解：∵当且仅当x=0时，不等式x2≤0成立；

∴不等式x2≤0的解集是{0}．

故答案为：{0}．

题型：简答题

简答题

方程ax2-3x+2=0（a∈R）的解集为A．

（1）若A为空集，求a的取值范围；

（2）若A是单元素集，求a的值及对应的集合A．

正确答案

解：（1）∵方程ax2-3x+2=0（a∈R）的解集为A为空集，

∴a≠0，△＜0，即（-3）2-4×2a＜0，解得．

∴a的取值范围是．

（2）∵方程ax2-3x+2=0（a∈R）的解集为A为单元素集，

∴△=0或a=0．

①当△=0时，（-3）2-4×2a=0，即．

解得．

∴A=．

②当a=0时，解得．

A=．

解析

解：（1）∵方程ax2-3x+2=0（a∈R）的解集为A为空集，

∴a≠0，△＜0，即（-3）2-4×2a＜0，解得．

∴a的取值范围是．

（2）∵方程ax2-3x+2=0（a∈R）的解集为A为单元素集，

∴△=0或a=0．

①当△=0时，（-3）2-4×2a=0，即．

解得．

∴A=．

②当a=0时，解得．

A=．

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