一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：填空题

填空题

若不等式x2-（a-1）x+1＞0的解集为全体实数，则a的取值范围是______．

正确答案

（-1，3）

解析

解：∵不等式x2-（a-1）x+1＞0的解集为全体实数，

∴△=（a-1）2-4＜0，

化为（a-3）（a+1）＜0，

解得-1＜a＜3．

∴a的取值范围是（-1，3）．

故答案为：（-1，3）．

题型：填空题

填空题

（2015春•哈尔滨校级期中）设一元二次不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则ab的值是______．

正确答案

解析

解：∵不等式ax2+bx+1＞0的解集为{x|-1＜x＜}，

∴a＜0，

∴原不等式等价于-ax2-bx-1＜0，

由根与系数的关系，得-1+=-，-1×3=，

∴a=-3，b=-2，

∴ab=6．

故答案为：6．

题型：填空题

填空题

设集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x2-5x≥0}，则A∩（∁RB）=______．

正确答案

（0，3]

解析

解：∵A={x|x2-x-6≤0}={x|（x-3）（x+2）≤0}={x|-2≤x≤3}，

B={x|x2-5x≥0}={x|x（x-5）≥0}={x|x≤0或x≥5}，

∴（∁RB）={x|0＜x＜5}，

∴A∩（∁RB）={x|0＜x≤3}；

故答案为：（0，3]．

题型：简答题

简答题

已知不等式：ax2+8x-6＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}．

（1）求a，b；

（2）解关于x的不等式：bx2-3（a+m）x+3am＜0．

正确答案

解：（1）∵不等式ax2+8x-6＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}，

∴1，b为方程ax2+8x-6=0的两根，且a＜0，代入解得a=-2，b=3．

∴a=-2，b=3．

（2）原不等式即为x2-（m-2）x-2m＜0，即（x-m）（x+2）＜0．

当m＜-2时，不等式的解集为{x|m＜x＜-2}，

当m=-2时，不等式的解集为∅，

当m＞-2时，不等式的解集为{x|-2＜x＜m}．

解析

解：（1）∵不等式ax2+8x-6＜0的解集为{x|x＜1或x＞b}，

∴1，b为方程ax2+8x-6=0的两根，且a＜0，代入解得a=-2，b=3．

∴a=-2，b=3．

（2）原不等式即为x2-（m-2）x-2m＜0，即（x-m）（x+2）＜0．

当m＜-2时，不等式的解集为{x|m＜x＜-2}，

当m=-2时，不等式的解集为∅，

当m＞-2时，不等式的解集为{x|-2＜x＜m}．

题型：简答题

简答题

已知方程ax2+bx+2=0的两根为-和2．

（1）求a、b的值；

（2）解不等式ax2+bx-1＞0．

正确答案

解：（1）∵方程ax2+bx+2=0的两根为-和2，

由根与系数的关系，得，

解得a=-2，b=3．

（2）由（1）知，不等式ax2+bx-1＞0，

即为-2x2+3x-1＞0，化为2x2-3x+1＜0．解得．

∴不等式ax2+bx-1＞0的解集为{x|＜x＜1}．

解析

解：（1）∵方程ax2+bx+2=0的两根为-和2，

由根与系数的关系，得，

解得a=-2，b=3．

（2）由（1）知，不等式ax2+bx-1＞0，

即为-2x2+3x-1＞0，化为2x2-3x+1＜0．解得．

∴不等式ax2+bx-1＞0的解集为{x|＜x＜1}．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式：mx2-（3m+1）x+2（m+1）＞0．

（1）当不等式解集为（-1，2）时，求m的值；

（2）当m≥0时，求关于x的不等式的解集．

正确答案

解：（1）关于x的不等式mx2-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集为（-1，2）时，

，

解得m=-；

（2）当m≥0时，若m=0，则不等式化为-x+2＞0，

解得x＜-2，∴不等式的解集为{x|x＜-2}；

若m＞0，则不等式化为[mx-（m+1）]（x-2）＞0，

即（x-）（x-2）＞0，

令=2，解得m=1；

∴当0＜m＜1时，＞2，

不等式的解集为{x|x＜2，或x＞}；

当m=1时，=2，

不等式的解集为{x|x≠2}；

当m＞1时，＜2，

不等式的解集为{x|x＜，或x＞2}；

综上，m=0，不等式的解集为{x|x＜-2}；

0＜m＜1时，不等式的解集为{x|x＜2，或x＞}；

m=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

m＞1时，不等式的解集为{x|x＜，或x＞2}．

解析

解：（1）关于x的不等式mx2-（3m+1）x+2（m+1）＞0的解集为（-1，2）时，

，

解得m=-；

（2）当m≥0时，若m=0，则不等式化为-x+2＞0，

解得x＜-2，∴不等式的解集为{x|x＜-2}；

若m＞0，则不等式化为[mx-（m+1）]（x-2）＞0，

即（x-）（x-2）＞0，

令=2，解得m=1；

∴当0＜m＜1时，＞2，

不等式的解集为{x|x＜2，或x＞}；

当m=1时，=2，

不等式的解集为{x|x≠2}；

当m＞1时，＜2，

不等式的解集为{x|x＜，或x＞2}；

综上，m=0，不等式的解集为{x|x＜-2}；

0＜m＜1时，不等式的解集为{x|x＜2，或x＞}；

m=1时，不等式的解集为{x|x≠2}；

m＞1时，不等式的解集为{x|x＜，或x＞2}．

题型：简答题

简答题

计算：

（1）（5-x）（x+4）≥18；

（2）5x-20≤x2．

正确答案

解：（1）（5-x）（x+4）≥18，整理得x2-x-2≤0，等价于（x-2）（x+1）≤0，所以-1≤x≤2；

（2）5x-20≤x2⇒x2-5x+20≥0因为判别式△=25-80=-55＜0，

所以不等式的解集为R．

解析

解：（1）（5-x）（x+4）≥18，整理得x2-x-2≤0，等价于（x-2）（x+1）≤0，所以-1≤x≤2；

（2）5x-20≤x2⇒x2-5x+20≥0因为判别式△=25-80=-55＜0，

所以不等式的解集为R．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式x2+x-a（a-1）＞0，（a∈R）．

正确答案

解：∵关于x的不等式x2+x-a（a-1）＞0，

∴（x+a）（x+1-a）＞0，

当-a＞a-1，即时，x＜a-1或x＞-a，

当a-1＞-a，即a＞时，x＜-a或x＞a-1，

当a-1=-a，即时，x，

∴当时，原不等式的解集为：{x|x＜a-1或x＞-a}，

当a＞时，原不等式的解集为：{x|x＜-a或x＞a-1}，

当时，原不等式的解集为：{x|x，x∈R}．

解析

解：∵关于x的不等式x2+x-a（a-1）＞0，

∴（x+a）（x+1-a）＞0，

当-a＞a-1，即时，x＜a-1或x＞-a，

当a-1＞-a，即a＞时，x＜-a或x＞a-1，

当a-1=-a，即时，x，

∴当时，原不等式的解集为：{x|x＜a-1或x＞-a}，

当a＞时，原不等式的解集为：{x|x＜-a或x＞a-1}，

当时，原不等式的解集为：{x|x，x∈R}．

题型：单选题

单选题

若不等式ax2+bx-2＞0的解集为{x丨1＜x＜2}，则实数a，b的值为（　　）

Aa=1，b=3

Ba=-1，b=3

Ca=-1，b=-3

Da=1，b=-3

正确答案

解析

解：由不等式ax2+bx-2＞0的解集为{x丨1＜x＜2}，

得方程ax2+bx-2=0的两个根为1，2．

则，解得a=-1，b=3．

故选B．

题型：单选题

单选题

集合A={x|x2-3x-10≤0，x∈Z}，B={x|2x2-x-6＞0，x∈Z}则A∩B的元素个数为（　　）

正确答案

解析

解：对于集合A：x2-3x-10≤0，（x-5）（x+2）≤0，解得-2≤x≤5，

又∵x∈Z，∴x=-1，0，1，2，3，4，5，∴A={-1，0，1，2，3，4，5}．

对于集合B：由2x2-x-6＞0，解得（2x+3）（x-2）＞0，解得x＞2，或．

∴B={x|或x＞2，x∈Z}．

∴A∩B={3，4，5}．

∴A∩B的元素个数为3．

故选B．

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