- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
不等式4x2-4x+1＞0的解集是______．
正确答案
{x|x
解析
解：∵4x2-4x+1＞0，即（2x-1）2＞0，∴2x-1≠0，即
∴不等式4x2-4x+1＞0的解集是{x|x
故答案为{x|x
已知关于x的方程x2+x+m-1=0在-1≤x≤1内有实数解，求实数m的取值范围．
正确答案
解：关于x的方程x2+x+m-1=0在-1≤x≤1内有解，
即函数y=x2+x+m-1与x轴在-1≤x≤1内有交点，
∵二次函数函数y的对称轴为x=-
∴应满足
即
解得1≤m≤
∴实数m的取值范围是{m|-1≤m≤
解析
解：关于x的方程x2+x+m-1=0在-1≤x≤1内有解，
即函数y=x2+x+m-1与x轴在-1≤x≤1内有交点，
∵二次函数函数y的对称轴为x=-
∴应满足
即
解得1≤m≤
∴实数m的取值范围是{m|-1≤m≤
设函数f（x）=
正确答案
解析
解：由题意不等式f（x）＞3等价于
解得x＞3或者0≤x＜1和-3＜x＜0，
所以不等式f（x）＞3的解集为（-3，0）∪（3，+∞）；
故选A．
函数f（x）=x2+ax+b，不等式f（x）＜0的解集为{x|-3＜x＜-2}
（1）求a、b的值；
（2）设函数g（x）=
正确答案
解：（1）∵不等式f（x）＜0的解集为{x|-3＜x＜-2}，
∴
（2）由（1）可得g（x）=
∴
∴当x=
解析
解：（1）∵不等式f（x）＜0的解集为{x|-3＜x＜-2}，
∴
（2）由（1）可得g（x）=
∴
∴当x=
若一元二次不等式f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，则f（2x）＞0的解集为（ ）
正确答案
解析
解：∵一元二次不等式f（x）＞0的解集为{x|-2＜x＜1}，
∴当f（2x）＞0时，有-2＜2x＜1，
∴x＜0；
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
故选：D．
不等式
A{-
B{x|x≤-
C{x|-
D{x|x≤-
正确答案
解析
解：∵
∴
解得-
故选C．
解关于x的不等式a2x2-ax-2＞0（其中实数a为常数）
正确答案
解：根据题意分两种情况考虑：
（i）当a=0时，原不等式化为-2＞0，显然不成立，因此不等式的解集为∅；（3分）
（ii）当a≠0时，a2＞0，
由a2x2-ax-2=（ax+1）（ax-2）得：方程a2x2-ax-2=0的两根为：
不等式a2x2-ax-2＞0变形为（ax+1）（ax-2）＞0，
可化为
则当a＞0时，解得：x＞
∴原不等式的解集为
当a＜0时，解得：
∴原不等式的解集为
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为ϕ；
当a＞0时，原不等式的解集为
当a＜0时，原不等式的解集为
（如果学生前面表述均使用集合，也可以不进行综述．也可理解为每个解集三分．）
解析
解：根据题意分两种情况考虑：
（i）当a=0时，原不等式化为-2＞0，显然不成立，因此不等式的解集为∅；（3分）
（ii）当a≠0时，a2＞0，
由a2x2-ax-2=（ax+1）（ax-2）得：方程a2x2-ax-2=0的两根为：
不等式a2x2-ax-2＞0变形为（ax+1）（ax-2）＞0，
可化为
则当a＞0时，解得：x＞
∴原不等式的解集为
当a＜0时，解得：
∴原不等式的解集为
综上可知，当a=0时，原不等式的解集为ϕ；
当a＞0时，原不等式的解集为
当a＜0时，原不等式的解集为
（如果学生前面表述均使用集合，也可以不进行综述．也可理解为每个解集三分．）
不等式（x-2）（x-1）＜0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：∵不等式（x-2）（x-1）＜0，
∴1＜x＜2，
∴不等式的解集是{x|1＜x＜2}．
故选：A．
不等式（x-5）（6-x）＞0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：【方法一】不等式（x-5）（6-x）＞0可化为
x2-11x+30＜0，
∵（-11）2-4×1×30=121-120=1＞0，
∴方程x2-11x+30=0有二不等实根，
解得x1=5，x2=6；
∴原不等式的解集是{x|5＜x＜6}；
【方法二】∵（x-5）（6-x）＞0，
∴（x-5）（x-6）＜0，
由符号法则，
得
解得5＜x＜6，
∴原不等式的解集为（5，6）；
故选：C．
已知关于x的不等式ax2-（a+1）x+1＜0．
（1）若a=-3，求不等式的解集；
（2）若a∈R，求不等式的解集；
（3）若不等式解集中恰有4个整数解，求a的范围．
正确答案
解：（1）当a=-3时，不等式可化为-3x2+2x+1＜0，
即3x2-2x-1＞0，
解得x＜-
∴不等式的解集为{x|x＜-
（2）①当a=0时，不等式化为-x+1＜0，解得x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＞1}；
当a≠0时，不等式可变为（ax-1）（x-1）＜0，
且方程（ax-1）（x-1）=0的两根为
∴②当a＜0时，抛物线开口向下，且
③当0＜a＜1时，抛物线开口向上，且
④当a=1时，不等式化为（x-1）2＜0，解集为∅；
⑤当a＞1时，抛物线开口向上，且
综上，①a=0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
②a＜0时，不等式的解集为{x|x＜
③0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜
④a=1时，不等式的解集为∅；
⑤a＞1时，不等式的解集为{x|
（3）根据（2）得，满足条件的不等式的解集应为
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜
令5＜
∴a的取值范围是{a|
解析
解：（1）当a=-3时，不等式可化为-3x2+2x+1＜0，
即3x2-2x-1＞0，
解得x＜-
∴不等式的解集为{x|x＜-
（2）①当a=0时，不等式化为-x+1＜0，解得x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＞1}；
当a≠0时，不等式可变为（ax-1）（x-1）＜0，
且方程（ax-1）（x-1）=0的两根为
∴②当a＜0时，抛物线开口向下，且
③当0＜a＜1时，抛物线开口向上，且
④当a=1时，不等式化为（x-1）2＜0，解集为∅；
⑤当a＞1时，抛物线开口向上，且
综上，①a=0时，不等式的解集为{x|x＞1}；
②a＜0时，不等式的解集为{x|x＜
③0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜
④a=1时，不等式的解集为∅；
⑤a＞1时，不等式的解集为{x|
（3）根据（2）得，满足条件的不等式的解集应为
0＜a＜1时，不等式的解集为{x|1＜x＜
令5＜
∴a的取值范围是{a|
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