一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：简答题

简答题

若a∈R，解关于x的不等式＜1．

正确答案

解：原不等式可化为．

（1）当a=-2时，解集为：{x|x≠2}；

（2）当a＞-2时，解集为：{x|x＞1-或x＜-a}；

（3）当a＜-2时，解集为：{x|x＞-a或x＜1-}．

解析

解：原不等式可化为．

（1）当a=-2时，解集为：{x|x≠2}；

（2）当a＞-2时，解集为：{x|x＞1-或x＜-a}；

（3）当a＜-2时，解集为：{x|x＞-a或x＜1-}．

题型：单选题

单选题

不等式x2+2x-3≥0的解集为（　　）

A{x|x≥1或x≤-3}

B{x|-1≤x≤3}

C{x|x≥3或x≤-1}

D{x|-3≤x≤1}

正确答案

解析

解：由题意，不等式可化为：（x+3）（x-1）≥0，∴x≤-3或x≥1

故选A．

题型：单选题

单选题

不等式（x-1）（2-x）≥0的解集是（　　）

A{x|1≤x≤2}

B{x|x≥1或x≤2}

C{x|1＜x＜2}

D{x|x＞1或x＜2}

正确答案

解析

解：不等式（x-1）（2-x）≥0可化为

（x-1）（x-2）≤0；

解得1≤x≤2，

∴不等式的解集是{x|1≤x≤2}．

故选：A．

题型：单选题

单选题

不等式2x2+x-1＞0的解集为（　　）

A（-1，）

B（-∞，-）∪（1，+∞）

C（-∞，-1）∪（，+∞）

正确答案

解析

解：不等式2x2+x-1＞0化为（2x-1）（x+1）＞0，解得x＞或x＜-1．

∴不等式的解集为（-∞，-1）∪．

故选：C．

题型：简答题

简答题

①已知集合A={x|x2-x-6＜0}，B={x|x2+2x-8＞0}，求A∩B．

②若关于x的不等式-x2+2x＞mx的解集为{x|0＜x＜2}，求m的值．

正确答案

解：①对于集合A：由x2-x-6＜0，解得-2＜x＜3，∴A={x|-2＜x＜3}；

对于集合B：由x2+2x-8＞0，解得x＞2，或x＜-4，∴B={x|2＜x，或x＜-4}；

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

②不等式-x2+2x＞mx化为x2+（2m-4）x＜0，其解集为{x|0＜x＜2}，∴0+2=4-2m，解得m=1．

解析

解：①对于集合A：由x2-x-6＜0，解得-2＜x＜3，∴A={x|-2＜x＜3}；

对于集合B：由x2+2x-8＞0，解得x＞2，或x＜-4，∴B={x|2＜x，或x＜-4}；

∴A∩B={x|2＜x＜3}．

②不等式-x2+2x＞mx化为x2+（2m-4）x＜0，其解集为{x|0＜x＜2}，∴0+2=4-2m，解得m=1．

题型：简答题

简答题

解关于x的不等式：（ax-1）（x+a）＞0．

正确答案

解：当a=0时，原不等式化为-x＞0，解得x＜0；

当a≠0时，原不等式化为，对应方程的根为-a，．

①若a＞0，，解得x＜-a或x＞．

②若a＜0，，解得．

综上，a=0时，原不等式的解集为{x|x＜0}；

a＞0时，原不等式的解集为{x|x＜-a或x＞}；

a＜0时，原不等式的解集为{x|}．

解析

解：当a=0时，原不等式化为-x＞0，解得x＜0；

当a≠0时，原不等式化为，对应方程的根为-a，．

①若a＞0，，解得x＜-a或x＞．

②若a＜0，，解得．

综上，a=0时，原不等式的解集为{x|x＜0}；

a＞0时，原不等式的解集为{x|x＜-a或x＞}；

a＜0时，原不等式的解集为{x|}．

题型：填空题

填空题

若关于x的不等式（2x-1）2≤ax2的解集中的整数恰有1个，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：（2x-1）2≤ax2

故a＞0且

解得，

又由0＜a＜4，且，，

解得．

故答案为

题型：填空题

填空题

（2015•南通模拟）一元二次不等式0≤ax2+c≤3的解集为[d，d+1]∪[d+3，d+4]，则实数a的值为______．

正确答案

±1

解析

解：一元二次不等式0≤ax2+c≤3可化为

，

当a＞0时，方程ax2+c=0的两个实数根为d+1和d+3，

且（d+1）+（d+3）=0，

解得d=-2，∴a=-c；

∴方程ax2+c=3可化为ax2-a=3，

即x2=，且它的两个实数根为d和d+4，

即-2和2，

解得a=1；

同理，当a＜0时，方程ax2+c=0的两个实数根为d和d+4，

且d+（d+4）=0，

解得d=-2，∴c=-4a；

∴方程ax2+c=3可化为ax2-4a=3，

即x2=，且它的两个实数根为d+1和d+3，

即-1和1，

解得a=-1；

综上，实数a的值为±1．

故答案为：±1．

题型：简答题

简答题

（1）解不等式：-2x2-x+6≥0

（2）已知不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立，求实数k的取值范围．

正确答案

解：（1）-2x2-x+6≥0

因式分解得：-（2x-3）（x+2）≥0，

即：（2x-3）（x+2）≤0，

解得：-2≤x≤，

所以原不等式的解集是：[-2，]

（2）∵不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立，

根据y=x2-2x+k2-1的图象

△＜0，即4-4（k2-1）＜0

解为或，

∴k的取值范围是或．

解析

解：（1）-2x2-x+6≥0

因式分解得：-（2x-3）（x+2）≥0，

即：（2x-3）（x+2）≤0，

解得：-2≤x≤，

所以原不等式的解集是：[-2，]

（2）∵不等式x2-2x+k2-1＞0对一切实数x恒成立，

根据y=x2-2x+k2-1的图象

△＜0，即4-4（k2-1）＜0

解为或，

∴k的取值范围是或．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=x2+ax+b的值域为A，关于x的不等式f（x）＜c的解集为B．

（1）若a=4，b=-2．c=3，求集合A与B；

（2）若A=[0，+∞），B=（m，m+6），求实数c的值．

正确答案

解：（1）a=4，b=-2，c=3时，

f（x）=x2+4x-2=（x+2）2-6≥-6；

∴函数的值域为A=[-6，+∞）；

又∵f（x）＜c，

∴x2+4x-5＜0，

解得-5＜x＜1；

∴不等式的解集为B=（-5，1）；

（2）∵A=[0，+∞），

∴f（x）=x2+ax+b≥0，

即△=a2-4b=0①；

又设f（x）-c=x2+ax+b-c=0的两个实数根为x1、x2，

且B=（m，m+6），

∴=a2-4（b-c）②；

由①②知，62=4c，

∴c=9．

解析

解：（1）a=4，b=-2，c=3时，

f（x）=x2+4x-2=（x+2）2-6≥-6；

∴函数的值域为A=[-6，+∞）；

又∵f（x）＜c，

∴x2+4x-5＜0，

解得-5＜x＜1；

∴不等式的解集为B=（-5，1）；

（2）∵A=[0，+∞），

∴f（x）=x2+ax+b≥0，

即△=a2-4b=0①；

又设f（x）-c=x2+ax+b-c=0的两个实数根为x1、x2，

且B=（m，m+6），

∴=a2-4（b-c）②；

由①②知，62=4c，

∴c=9．

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