- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知函数f（x）=
正确答案
解：∵函数f（x）=
∴当f（x）＞0时，有
即2x2-12x-3＞0；
又∵△=（-12）2-4×2×（-3）=168＞0，
∴该不等式对应的方程的两个实数根为
x1=3-
解这个不等式得，
∴x＜3-
∴使函数f（x）大于0的x的取值范围是
{x|x＜3-
解析
解：∵函数f（x）=
∴当f（x）＞0时，有
即2x2-12x-3＞0；
又∵△=（-12）2-4×2×（-3）=168＞0，
∴该不等式对应的方程的两个实数根为
x1=3-
解这个不等式得，
∴x＜3-
∴使函数f（x）大于0的x的取值范围是
{x|x＜3-
设函数f（x）=ax2+（b-2）x+3（a≠0），若不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）．且函数f（x）在x∈[m，1]上的最小值为1，求实数m的值为______．
正确答案
解析
解：由条件得
则f（x）=-x2+2x+3函数开口方向向下，对称轴方程为x=1，
∴f（x）在x∈[m，1]上单调递增，
∴x=m时f（x）min=-m2+2m+3=1
解得
∵m＜1，∴
故答案为
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1+x）．
（1）求x＞0时，f（x）的解析式
（2）求不等式f（x）＞0的解集．
正确答案
解：（1）设x＞0时，则-x＜0．由已知当x≤0时，f（x）=x（1+x），∴f（-x）=-x（1-x）．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（x-1）．
（2）①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得x＞0或x＜-1，又x≤0，
∴x＜-1，此时不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）．
②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，化为x（x-1）＜0，解得1＞x＞0，此时不等式f（x）＞0的解集为（0，1）．
解析
解：（1）设x＞0时，则-x＜0．由已知当x≤0时，f（x）=x（1+x），∴f（-x）=-x（1-x）．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（x-1）．
（2）①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得x＞0或x＜-1，又x≤0，
∴x＜-1，此时不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）．
②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，化为x（x-1）＜0，解得1＞x＞0，此时不等式f（x）＞0的解集为（0，1）．
已知函数y=ax2+bx+c的图象关于x=-1对称，最大值为2，在y轴上的截距为1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果f（x）＞2，求对应x的取值范围．
正确答案
解：（1）∵函数y=ax2+bx+c的图象关于x=-1对称，最大值为2，在y轴上的截距为1，
∴
解得a=-1，b=-2，c=1；
（2）不等式f（x）＞2可化为
-x2-2x+1＞2，
即x2+2x+1＜0，
∴（x+1）2＜0，
该不等式的解集为∅；
即x的取值范围是∅．
解析
解：（1）∵函数y=ax2+bx+c的图象关于x=-1对称，最大值为2，在y轴上的截距为1，
∴
解得a=-1，b=-2，c=1；
（2）不等式f（x）＞2可化为
-x2-2x+1＞2，
即x2+2x+1＜0，
∴（x+1）2＜0，
该不等式的解集为∅；
即x的取值范围是∅．
若关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-1＜x＜5}，则a+b=______．
正确答案
-9
解析
解：因为关于x的不等式x2+ax+b＜0的解集为{x|-1＜x＜5}，
所以-1，5是对应方程x2+ax+b=0的两根，
所以-1+5=-a，-1×5=b，
所以a=-4，b=-5，
所以a+b=-9；
故答案为：-9．
己知一元二次不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4≤0的解集为∅，求实数m的取值范围．
正确答案
解：∵一元二次不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4≤0的解集为∅，
∴
即
解得
∴实数m的取值范围是2＜m＜6．
解析
解：∵一元二次不等式（m-2）x2+2（m-2）x+4≤0的解集为∅，
∴
即
解得
∴实数m的取值范围是2＜m＜6．
解一元二次不等式：x（x-1）≤0．
正确答案
解：∵一元二次不等式x（x-1）≤0对应的方程是
x（x-1）=0，
且该一元二次方程的两个实数根为0和1，
∴该不等式的解集为
{x|0≤x≤1}．
解析
解：∵一元二次不等式x（x-1）≤0对应的方程是
x（x-1）=0，
且该一元二次方程的两个实数根为0和1，
∴该不等式的解集为
{x|0≤x≤1}．
若关于x的不等式x2+9+|x2-3x|≥kx在[1，5]上恒成立，则实数k的范围为______．
正确答案
（-∞，6]
解析
解：令f（x）=x2+9+|x2-3x|，x∈[1，5]，则f（x）=
当x∈[1，3]时，g（x）=
当x∈（3，5]时，g（x）=
所以g（x）的最小值为6，所以k≤6．
故答案为：（-∞，6]
当a＜0时，关于x的不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：不等式x2-4ax-5a2＞0可化为
（x+a）（x-5a）＞0，
当a＜0时，-a＞5a，
∴不等式x2-4ax-5a2＞0的解集是
{x|x＜5a或x＞-a}
故选：B．
关于x的不等式（m-2）x2-mx-1≥0的解集为{x|x1≤x≤x2}，且1≤|x1-x2|≤3，求实数m的取值范围．
正确答案
解：关于x的不等式（m-2）x2-mx-1≥0的解集为{x|x1≤x≤x2}，所以方程（m-2）x2-mx-1=0的根为x1，x2． x1+x2=，∵1≤|x1-x2|≤3，∴1≤（x1+x2）2-4x1x2≤，且（m-2）＜0，∴，故答案为：
解析
解：关于x的不等式（m-2）x2-mx-1≥0的解集为{x|x1≤x≤x2}，所以方程（m-2）x2-mx-1=0的根为x1，x2． x1+x2=，∵1≤|x1-x2|≤3，∴1≤（x1+x2）2-4x1x2≤，且（m-2）＜0，∴，故答案为：
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