- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知全集U=R，A={x|ax2+bx-6＞0}，B={x|ax+b+c＞0}，若A={x|2＜x＜3}，且A⊊B，求实数c的取值范围．
正确答案
解：依题可知：{x|ax2+bx-6＞0}={x|2＜x＜3}，
∴2和3为方程ax2+bx-6=0的二根，且a＜0，
∴
∴B={x|x＜5+c}
又∵A⊊B，∴3≤5+c
解得：c≥-2．
解析
解：依题可知：{x|ax2+bx-6＞0}={x|2＜x＜3}，
∴2和3为方程ax2+bx-6=0的二根，且a＜0，
∴
∴B={x|x＜5+c}
又∵A⊊B，∴3≤5+c
解得：c≥-2．
若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式
正确答案
解析
解：由不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，
得到ax2+bx+c=0的两解为-1和2，且a＜0，
根据韦达定理得：-
则不等式
当x＜0时，不等式化为：
去分母得：x2+2x-1＜0，即（x+1-
解得：-1-
则原不等式的解集为：-1-
当x＞0时，不等式化为：
去分母得：x2-2x+1＜0，即（x-1）2＜0，无解，
综上，原不等式的解集为{x|-1-
故答案为：{x|-1-
已知a＜0，关于x的不等式ax2-2（a+1）x+4＞0的解集是______．
正确答案
解析
解：由ax2-2（a+1）x+4＞0，得（x-2）（ax-2）＞0，
因为a＜0，所以
所以不等式ax2-2（a+1）x+4＞0的解集是
故答案为
已知a，b实数，设函数f（x）=2x2+（1+a）bx-b．
（1）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为（1，3），求实数a，b的值；
（2）设b为已知的常数，且f（1）＞0，求满足条件的a的范围．
正确答案
解：（1）由题可知2x2+（a+1）bx-b＜0的解集为（1，3），
则1，3是方程2x2+（a+1）bx-b=0的两根，由韦达定理可知
解得
（2）∵f（1）=2+（1+a）b-b=2+ab＞0，∴ab＞-2．
当b=0时，a∈R；当b＞0时，
解析
解：（1）由题可知2x2+（a+1）bx-b＜0的解集为（1，3），
则1，3是方程2x2+（a+1）bx-b=0的两根，由韦达定理可知
解得
（2）∵f（1）=2+（1+a）b-b=2+ab＞0，∴ab＞-2．
当b=0时，a∈R；当b＞0时，
不等式（2x-1）2≥0的解集______．
正确答案
R
解析
解：∵对于任意实数（2x-1）2≥0的恒成立，∴不等式（2x-1）2≥0的解集是R．
故答案为R．
不等式ax2-ax+4＞0的解集为R，则a的取值范围是 ______
正确答案
[0，16）
解析
解：（1）当a=0时，得到4＞0，显然不等式的解集为R；
（2）当a＞0时，二次函数y=ax2-ax+4开口向上，由不等式的解集为R，得到二次函数与x轴没有交点即△=（-a）2-16a＜0，即a（a-16）＜0，可化为
（3）当a＜0时，二次函数y=ax2-ax+4开口向下，函数值y不恒＞0，故解集为R不可能．
综上，a的取值范围为[0，16）
故答案为：[0，16）
“已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），解关于x的不等式cx2+bx+a＞0．”给出如下的一种解法：
解：由ax2+bx+c＞0的解集为（1，2），得，a（
即关于x的不等式cx2+bx+a＞0的解集为（
参考上述解法：若关于x的不等式
A（-1，1）
B（-1，-
C（-∞，-
D（-∞，-
正确答案
解析
解：根据题意，
由
得
即
故选：B．
设集合M={x|0≤x＜3}，N={x|x2-3x-4＜0}，则集合M∩N等于（ ）
正确答案
解析
解：由集合N中的不等式x2-3x-4＜0，
因式分解得：（x-4）（x+1）＜0，
可化为：
解得：-1＜x＜4，
∴集合N={x|-1＜x＜4}，又集合M={x|0≤x＜3}，
则M∩N=M={x|0≤x＜3}．
故选C
（1）解关于x的方程：x2+px+1=2x+p；
（2）解关干x的不等式：x2+px+1＞2x+p；
（3）若上述不等式的解集为A，当p在区间[-2，2]内取不同值时，会对应不同的集合A，求出所有这些集合A的交集B．
正确答案
解：（1）x2+px+1=2x+p化为x2+（p-2）x+1-p=0，
化为（x-1）[x-（1-p）]=0，
当p=0时，解得x1=x2=1；
当p≠0时，解得x=1或1-p．
（2）x2+px+1＞2x+p化为x2+（p-2）x+1-p＞0，
化为（x-1）[x-（1-p）]＞0，
当p=0时，解得x≠1，其解集为{x∈R|x≠1}；
当p＞0时，解得x＞1，或x＜1-p，其解集为{x|x＞1，或x＜1-p}．
当p＜0时，解得x＞1-p，或x＜1，其解集为{x|x＞1-p，或x＜1}．
（3）由（2）可得：当p=0时，A={x∈R|x≠1}；
当2≥p＞0时，A={x|x＞1，或x＜1-p}．
当-2≤p＜0时，A={x|x＞1-p，或x＜1}．
∴B={x∈R|x≠1}∩{x|x＞1，或x＜1-p}∩{x|x＞1-p，或x＜1}={x|x＜1-p或x＞1-p}．
解析
解：（1）x2+px+1=2x+p化为x2+（p-2）x+1-p=0，
化为（x-1）[x-（1-p）]=0，
当p=0时，解得x1=x2=1；
当p≠0时，解得x=1或1-p．
（2）x2+px+1＞2x+p化为x2+（p-2）x+1-p＞0，
化为（x-1）[x-（1-p）]＞0，
当p=0时，解得x≠1，其解集为{x∈R|x≠1}；
当p＞0时，解得x＞1，或x＜1-p，其解集为{x|x＞1，或x＜1-p}．
当p＜0时，解得x＞1-p，或x＜1，其解集为{x|x＞1-p，或x＜1}．
（3）由（2）可得：当p=0时，A={x∈R|x≠1}；
当2≥p＞0时，A={x|x＞1，或x＜1-p}．
当-2≤p＜0时，A={x|x＞1-p，或x＜1}．
∴B={x∈R|x≠1}∩{x|x＞1，或x＜1-p}∩{x|x＞1-p，或x＜1}={x|x＜1-p或x＞1-p}．
不等式-25x2+10x-1≥0的解集为（ ）
A∅
B
C
D
正确答案
解析
解：不等式-25x2+10x-1≥0可化为25x2-10x+1≤0，
即（5x-1）2≤0，
且该不等式对应方程的解为x=
所以该不等式的解集为{x|x=
故选：B．
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