- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
定义一种新运算“⊕”为：a⊕b=a2+|a-b|，则不等式x⊕1＞1的解集为（ ）
正确答案
解析
解：∵a⊕b=a2+|a-b|，
∴x⊕1=x2+|x-1|，
则不等式x⊕1＞1可转化为x2+|x-1|＞1，
即
解①得x＞1，解②得x＜0．
则不等式x⊕1＞1的解集为（-∞，0）∪（1，+∞）．
故选D．
不等式x2-2x-3＞0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：x2-2x-3＞0化为（x-3）（x+1）＞0，解得-1＜x＜3，
因此不等式的解集是（-∞，-1）∪（3，+∞）．
故选：C．
已知三个不等式：①x2-4x+3＜0； ②x2-6x+8＞0； ③2x2-8x+m≤0．要使同时满足①式和②式的所有x的值都满足③式，则实数m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：联立
要使同时满足①式和②式的所有x的值都满足③式，
即对于任意x∈（1，2）都有2x2-8x+m≤0成立，
即m≤-2x2+8x，
令g（x）=-2x2+8x，函数的对称轴方程为x=2，
∴g（1）=g（3）=6，
则m≤6．
故选D．
下列不等式的解集是空集的是（ ）
正确答案
解析
解：根据题意，依次分析选项，
对于A，x2-x+1=（x-
对于B，-2x2+x+1＞0⇒2x2-x-1＜0，有△＞0，其解集不是空集，B不符合题意，
对于C，2x-x2＞5⇒x2-2x+5＜0，其△=-16＜0，其解集为∅，符合题意，
对于D，x2+x＞2⇒x2+x-2＞0，有△＞0，其解集不是空集，D不符合题意，
故选C．
关于x的不等式a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2
（1）当a=1，b=0时解不等式；
（2）a，b∈R，a≠b解不等式．
正确答案
解：（1）当a=1、b=0时，原不等式化为x≥x2，（2分）
即x（x-1）≤0；…（4分）
解得0≤x≤1，
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤1}；…（6分）
（2）∵a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2，
∴（a-b）2x≥（a-b）2x2，（10分）
又∵a≠b，
∴（a-b）2＞0，
∴x≥x2；
即x（x-1）≤0，…（12分）
解得0≤x≤1；
∴不等式的解集为{x|0≤x≤1}．…（14分）
解析
解：（1）当a=1、b=0时，原不等式化为x≥x2，（2分）
即x（x-1）≤0；…（4分）
解得0≤x≤1，
∴原不等式的解集为{x|0≤x≤1}；…（6分）
（2）∵a2x+b2（1-x）≥[ax+b（1-x）]2，
∴（a-b）2x≥（a-b）2x2，（10分）
又∵a≠b，
∴（a-b）2＞0，
∴x≥x2；
即x（x-1）≤0，…（12分）
解得0≤x≤1；
∴不等式的解集为{x|0≤x≤1}．…（14分）
解关于x的不等式：ax2-（a+1）x+1≥0．
正确答案
解：原不等式可化为（x-1）（ax-1）≥0，
当a＞0时，不等式可化为（x-1）（x-
该不等式对应方程的两个实数根为1和
若a＞1，则1＞
若a=1，则1=
若0＜a＜1，则1＜
当a=0时，不等式化为-x+1≥0，解集为{x|x≤1}；
当a＜0时，不等式化为（x-1）（x-
解集为{x|
解析
解：原不等式可化为（x-1）（ax-1）≥0，
当a＞0时，不等式可化为（x-1）（x-
该不等式对应方程的两个实数根为1和
若a＞1，则1＞
若a=1，则1=
若0＜a＜1，则1＜
当a=0时，不等式化为-x+1≥0，解集为{x|x≤1}；
当a＜0时，不等式化为（x-1）（x-
解集为{x|
已知命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（a＜0），q：实数x满足x2-x-5＜0或x2+2x-8＞0，若q是p的必要不充分条件，求a的取值范围．
正确答案
解：∵命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（a＜0），
∴p={x|3a＜x＜a，（a＜0）}，
∵x2-x-5＜0或x2+2x-8＞0，
∴q：{x|
∵q是p的必要不充分条件，
∴∴
解析
解：∵命题p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0（a＜0），
∴p={x|3a＜x＜a，（a＜0）}，
∵x2-x-5＜0或x2+2x-8＞0，
∴q：{x|
∵q是p的必要不充分条件，
∴∴
若（1，2）是一元二次不等式ax2+x＞0的解集的真子集，则实数a的取值范围为______．
正确答案
{a|-
解析
解：∵a≠0，∴不等式化为x（ax+1）＞0；
当a＞0时，不等式化为x（x+
解得x＞0，或x＜-
∴（1，2）是原不等式解集的真子集；
当a＜0时，不等式可化为x（x+
解得0＜x＜-
令-
即-
综上，实数a的取值范围为{a|-
故答案为：{a|-
不等式x2-4x＞2ax+a对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：不等式x2-4x＞2ax+a变形为
x2-（4+2a）x-a＞0，
该不等式对一切实数x恒成立，
∴△＜0，
即（4+2a）2-4•（-a）＜0；
化简得a2+5a+4＜0，
解得-4＜a＜-1；
∴实数a的取值范围是（-4，-1）．
故答案为：B．
解关于x的不等式：x2+ax+4＞0．
正确答案
解：判别式为△=a2-16，
当△＜0即-4＜a＜4，函数y=x2+ax+4与x轴没有交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为R；
当△=0，即a=±4时，函数y=x2+ax+4与x轴有一个交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为：a=-4时，解集{x|x∈R且x≠2}或者a=4时解集为{x|x∈R且x≠-2}；
当△＞0时，函数y=x2+ax+4与x轴有两个交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为（-∞，
解析
解：判别式为△=a2-16，
当△＜0即-4＜a＜4，函数y=x2+ax+4与x轴没有交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为R；
当△=0，即a=±4时，函数y=x2+ax+4与x轴有一个交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为：a=-4时，解集{x|x∈R且x≠2}或者a=4时解集为{x|x∈R且x≠-2}；
当△＞0时，函数y=x2+ax+4与x轴有两个交点，所以不等式x2+ax+4＞0的解集为（-∞，
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