一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：填空题

填空题

不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}，则a：b：c=______．

正确答案

1：（-4）：3

解析

解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|x＜1或x＞3}，

所以ax2+bx+c=0的两个根是1，3，且a＞0，

则，解得，

所以a：b：c=1：（-4）：3，

故答案为：1：（-4）：3．

题型：单选题

单选题

不等式（x+2）（x-3）＞0的解集是（　　）

A{x|x＜-2，或x＞3}

B{x|-2＜x＜3}

C{x|2＜x＜3}

正确答案

解析

解：由（x+2）（x-3）=0解得x=-2或3，

∴不等式（x+2）（x-3）＞0的解集是{x|x＜-2或x＞3}．

故选A．

题型：填空题

填空题

不等式ax2+bx+2＞0的解集为（-，），则a+b等于______．

正确答案

-14

解析

解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为（-，）

∴-，为方程ax2+bx+2=0的两个根

∴根据韦达定理：

-+=- ①

-×= ②

由①②解得：

∴a+b=-14

故答案为-14

题型：填空题

填空题

不等式x2-bx+1＞0的解集为一切实数，则b的取值范围是______．

正确答案

-2＜b＜2

解析

解：∵等式x2-bx+1＞0的解集为一切实数，

∴△=b2-4＜0，解得：-2＜b＜2，

故答案为：-2＜b＜2．

题型：简答题

简答题

解下列不等式：

（1）-x2+8x-3＞0

（2）-4x2+12x-9＜0

（3）x2+2x+8＜0

（4）已知函数f（x）=（ax-1）•（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（-1，3），求a，b．

正确答案

解：（1）-x2+8x-3＞0化为x2-8x+3＜0，由x2-8x+3=0，解得x=4，

∴，

∴原不等式的解集为：．

（2）-4x2+12x-9＜0化为4x2-12x+9＞0，即（2x-3）2＞0，解得x，

∴原不等式的解集为：{x∈R|x}．

（3）∵x2+2x+8=（x+1）2+7＞0，∴x2+2x+8＜0的解集为∅．

（4）∵（ax-1）•（x+b）＞0即ax2+（ab-1）x-b＞0的解集是（-1，3），

∴a＜0，-1，3是ax2+（ab-1）x-b=0的实数根，

∴-1+3=，-1×3=-，

解得a=-1，b=-3．

∴a=-1，b=-3．

解析

解：（1）-x2+8x-3＞0化为x2-8x+3＜0，由x2-8x+3=0，解得x=4，

∴，

∴原不等式的解集为：．

（2）-4x2+12x-9＜0化为4x2-12x+9＞0，即（2x-3）2＞0，解得x，

∴原不等式的解集为：{x∈R|x}．

（3）∵x2+2x+8=（x+1）2+7＞0，∴x2+2x+8＜0的解集为∅．

（4）∵（ax-1）•（x+b）＞0即ax2+（ab-1）x-b＞0的解集是（-1，3），

∴a＜0，-1，3是ax2+（ab-1）x-b=0的实数根，

∴-1+3=，-1×3=-，

解得a=-1，b=-3．

∴a=-1，b=-3．

题型：填空题

填空题

若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是则不等式ax2-bx+2＞0的解集是______．

正确答案

{x|}

解析

解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集是，

∴，是一元二次方程ax2+bx+2=0的实数根，且a＜0．

∴，a＜0，解得a=-12，b=-2．

∴不等式ax2-bx+2＞0即-12x2+2x+2＞0，化为6x2-x-1＜0，解得．

∴不等式ax2-bx+2＞0的解集是{x|}．

故答案为：{x|}．

题型：填空题

填空题

若存在2≤x≤3使不等式x2-ax+1≤0成立，则实数a的取值范围是______．

正确答案

解析

解：由题意得，存在2≤x≤3使不等式x2-ax+1≤0成立，

则存在2≤x≤3使不等式a≥成立，

因为函数y=在[2，3]上单调递增，

所以=，

则实数a的取值范围是：，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

不等式2x2-3x-2＜0的解集为______．

正确答案

解析

解：不等式2x2-3x-2＜0可化为：

（x-2）（2x+1）＜0，

故解集为{x|}

故答案为：{x|}

题型：简答题

简答题

已知定义域为x∈R|x≠0的函数f（x）满足；

①对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0；

②当x＞0时，f（x）=x2-2．

（Ⅰ）求f（x）定义域上的解析式；

（Ⅱ）解不等式：f（x）＜x．

正确答案

解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，

∴f（-x）=-f（x），

故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）

∵当x＞0时，f（x）=x2-2，

设x＜0，所以-x＞0，

∴f（-x）=-f（x）=x2-2，即f（x）=2-x2，

则；（6分）

（II）∵当x＞0时，x2-2＜x，

化简得（x-2）（x+1）＜0，

解得：-1＜x＜2，

所以不等式的解集为0＜x＜2；

当x＜0时，2-x2＜x，

化简得：（x-1）（x+2）＞0，

解得：x＞1或x＜-2，

所以不等式的解集为x＜-2，

综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）

解析

解：（I）∵对于f（x）定义域内的任意实数x，都有f（-x）+f（x）=0，

∴f（-x）=-f（x），

故f（x）在其定义域为{x∈R|x≠0}内是奇函数（2分）

∵当x＞0时，f（x）=x2-2，

设x＜0，所以-x＞0，

∴f（-x）=-f（x）=x2-2，即f（x）=2-x2，

则；（6分）

（II）∵当x＞0时，x2-2＜x，

化简得（x-2）（x+1）＜0，

解得：-1＜x＜2，

所以不等式的解集为0＜x＜2；

当x＜0时，2-x2＜x，

化简得：（x-1）（x+2）＞0，

解得：x＞1或x＜-2，

所以不等式的解集为x＜-2，

综上，不等式f（x）＜x的解集为{x|0＜x＜2或x＜-2}．（10分）

题型：单选题

单选题

不等式x2-ax+1≥0解集为R，则a的取值范围为　（　　）

A[-2，2]

B（-∞，-2]

C[2，+∞）

D（-∞，-2]∪[2，+∞）

正确答案

解析

解：由题意可得△=a2-4≤0，解得-2≤a≤2．

故选A．

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