- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2，x∈（0，240）．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时（销售收入不小于总成本）的最低产量是（ ）
正确答案
解析
解：由题设，产量x台时，总售价为25x；欲使生产者不亏本时，必须满足总售价大于等于总成本，
即25x≥3000+20x-0.1x2，
即0.1x2+5x-3000≥0，x2+50x-30000≥0，
解之得x≥150或x≤-200（舍去）．
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．
应选C．
已知：函数f（x）=x+2a（a∈R），且不等式f2（x）＜4的解集是（2，6）
（1）求：实数a的值；
（2）求：不等式
（3）解关于x的不等式：x•f（x）+m＞0（m∈R）
正确答案
解：（1）f2（x）＜4⇔x2+4ax+4a2-4＜0，（2分）
∵不等式f2（x）＜4的解集是（2，6），∴
（2）∵由上可知 f（x）=x-4，∴
∴不等式
（3）x•f（x）+m＞0即为x2-4x+m＞0，△=16-4m．
①当m＞4时，△=16-4m＜0，x∈R，即此时不等式的解集为R．
②当m=4时，△=16-4m=0，x≠2，即此时不等式的解集为{x|x≠2 }．
③当m＜4时，
即此时不等式的解集为{x|x＜2-
解析
解：（1）f2（x）＜4⇔x2+4ax+4a2-4＜0，（2分）
∵不等式f2（x）＜4的解集是（2，6），∴
（2）∵由上可知 f（x）=x-4，∴
∴不等式
（3）x•f（x）+m＞0即为x2-4x+m＞0，△=16-4m．
①当m＞4时，△=16-4m＜0，x∈R，即此时不等式的解集为R．
②当m=4时，△=16-4m=0，x≠2，即此时不等式的解集为{x|x≠2 }．
③当m＜4时，
即此时不等式的解集为{x|x＜2-
若不等式x2+ax+a-2＞0的解集为R，则a可取值的集合为______．
正确答案
∅
解析
解：根据题意，若不等式x2+ax+a-2＞0的解集为R，
则其对应的二次函数y=x2+ax+a-2图象在x轴的上方；必有△＜0；
即a2-4（a-2）＜0，
分析可得，其无解；
故答案为：∅．
解关于x的不等式或不等式组：
（1）-2x2+3x+1＞-1
（2）
正确答案
解：（1）原不等式可化为：
2x2-3x-2＜0，即（x+2）（2x-1）＜0
解得：x＜-2或x＞
故原不等式的解集为：{x|x＜-2或x＞
（2）原不等式可化为：
即
根据“取交集”原则，得：1＜x＜2或4＜x≤5，
原不等式组的解集为{x|1＜x＜2或4＜x≤5}．
解析
解：（1）原不等式可化为：
2x2-3x-2＜0，即（x+2）（2x-1）＜0
解得：x＜-2或x＞
故原不等式的解集为：{x|x＜-2或x＞
（2）原不等式可化为：
即
根据“取交集”原则，得：1＜x＜2或4＜x≤5，
原不等式组的解集为{x|1＜x＜2或4＜x≤5}．
已知关于x的不等式x2-3x+m＜0的解集是{x|1＜x＜n}．
（1）求实数m，n的值；
（2）若正数a，b满足：ma+2nb=3，求a•b的最大值．
正确答案
解：（1）由题意可知：1，n是x2-3x+m=0的两根，
所以
（2）把m=2，n=2代入ma+2nb=3得
因为
得
所以a•b的最大值为
解析
解：（1）由题意可知：1，n是x2-3x+m=0的两根，
所以
（2）把m=2，n=2代入ma+2nb=3得
因为
得
所以a•b的最大值为
若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-
正确答案
-14
解析
解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|-
∴-
由韦达定理可得
解得a=-12，b=-2，
∴a+b=-14．
故答案为：-14．
若不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|-1＜x＜3}，且ax2+bx+c＞1的解集是空集，则a的取值范围是______．
正确答案
[-
解析
解：∵不等式ax2+bx+c＞0的解集是{x|-1＜x＜3}，
∴ax2+bx+c=0的根为3、-1，
即3-1=
-3×1=
解得b=-2a，c=-3a
则不等式ax2+bx+c＞1可化为：
ax2-2ax-3a-1＞0
∴
解得-
故答案为：[-
已知b，c∈R，若关于的不等式
正确答案
（0，4）
解析
解：依题意：x2、x3为方程x2+bx+c=0的两个根
x1、x4为方程x2+bx+c-4=0的两个根．
设y=（x2+x4）-（x1+x3）=（x4-x3）+（x2-x1）=2（x2-x1）
=2（
=2
令
则y=
∴（y+t）2=t2+16，
即2yt+y2=16，
t=
故答案为：（0，4）
（2015秋•南京校级月考）设0＜b＜1+a，若关于x 的不等式（x-b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则a的取值范围是______．
正确答案
（1，3）
解析
解：关于x 的不等式（x-b）2＞（ax）2 即 （a2-1）x2+2bx-b2＜0，∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0 的解集中的整数恰有3个，∴a＞1，
∴不等式的解集为 
∴-3≤-
∴2＜
∵b＜1+a，
∴2a-2＜1+a，
∴a＜3，
综上，1＜a＜3，
故答案为1＜a＜3．
已知m＞1，且存在x∈[-2，0]，使不等式x2+2mx+m2-m≤0成立，则m的最大值为______．
正确答案
4
解析
解：构造函数f（x）=x2+2mx+m2-m．记f（x）在x∈[-2，0]上的值域为C，由已知，值域C内存在非正数．∴f（x）的最小值应为非正数．
f（x） 的对称轴x=-m，
①当m≥2时，-m≤-2，f（x）在[-2，0]上是增函数，f（x）的最小值 为f（-2），
由f（-2）≤0，得4+2m×（-2）+m2-m≤0，m2-5m+4≤0，1≤m≤4，
∴2≤m≤4．
②当1＜m＜2时，-2＜-m＜-1，f（x）在[-2，0]上先减后增，最小值 为f（-m），
由f（-m）≤0，得-m≤0，m≥0，
∴1＜m＜2
由①②可得m的取值范围是1＜m≤4．，m的最大值是4
故答案为：4．
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