- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
（1）求关于x的一元二次不等式-x2-2x+3＜0的解集．
（2）若关于x的一元二次不等式-x2-2x+a＜0的解集为R，求实数a的取值范围．
正确答案
解：（1）∵-x2-2x+3＜0，
∴x2+2x-3＞0，
∴（x+3）（x-1）＞0，
∴x＜-3或x＞1．
∴一元二次不等式-x2-2x+3＜0的解集为{x|x＜-3或x＞1}
（2）因为x的一元二次不等式-x2-2x+a＜0的解集为R，
∴△=（-2）2+4a＜0⇒a＜-1
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）
解析
解：（1）∵-x2-2x+3＜0，
∴x2+2x-3＞0，
∴（x+3）（x-1）＞0，
∴x＜-3或x＞1．
∴一元二次不等式-x2-2x+3＜0的解集为{x|x＜-3或x＞1}
（2）因为x的一元二次不等式-x2-2x+a＜0的解集为R，
∴△=（-2）2+4a＜0⇒a＜-1
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）
已知f（x）=x2+ax+b（a，b∈R的定义域为[-1，1]．
（1）记
正确答案
解：（1）f（x）=x2+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=
1+a+b≤
1-a+b≤
-b≤
①+②：2+2b≤1，b≤-
③：b≥-
∴b=-
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=
0＞1+a+b≥-
0＞1-a+b≥-
0＞-b≥-
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-
解析
解：（1）f（x）=x2+ax+b
M≥|f（0）|=|b|
M≥|f（1）|=|1+a+b|
M≥|f（-1）|=|1-a+b|
4M≥2|b|+|1+a+b|+|1-a+b|≥|（-2b）+（1+a+b）+（1-a+b）|=2
M≥
[-b，1+a+b，1-a+b同号时取等号]
（2）I．若-b，1+a+b，1-a+b均≥0，M=
1+a+b≤
1-a+b≤
-b≤
①+②：2+2b≤1，b≤-
③：b≥-
∴b=-
代回①：a≤0，②：a≥0
∴a=0
f（x）=x2-
II．若-b，1+a+b，1-a+b均＜0，M=
0＞1+a+b≥-
0＞1-a+b≥-
0＞-b≥-
①+③：0＞1+a≥-1，-2≤a＜-1
②+③：0＞1-a≥-1，1＜a≤2
无解
综上：f（x）=x2-
若关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，则实数a的取值范围为______．
正确答案
解析
解：当a=0时，-|x+1|＜0的解集不是空集； 这种情况舍去．
又因为开口向下的二次函数图象是向下无限延伸的，
所以ax2-|x+1|+2a＜0的解集不可能为空集．这种情况舍去．
当a＞0，
当x≤-1时，不等式ax2-|x+1|+2a＜0为ax2+x+2a+1＜0
对称轴为x=-
∵关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为空集，
∴f（x）min=f（-1）≥0⇒a≥0，
∴a≥0
当x＞-1时，不等式ax2-|x+1|+2a＜0为ax2-x+2a-1＜0，
对称轴为x=
∵关于x的不等式ax2-|x+1|+2a＜0的解集为空集
∴f（x）min=f（
∴a≥
综上得：a≥
故答案为：[
若0≤a≤1，解关于x的不等式（x-a）（x+a-1）＜0．
正确答案
解：由（x-a）（x+a-1）=0得：x=a，或x=1-a，
当0≤a＜
解不等式（x-a）（x+a-1）＜0得：x∈（a，1-a），
当a=
当
解不等式（x-a）（x+a-1）＜0得：x∈（1-a，a）．
综上：当0≤a＜
当a=
当
解析
解：由（x-a）（x+a-1）=0得：x=a，或x=1-a，
当0≤a＜
解不等式（x-a）（x+a-1）＜0得：x∈（a，1-a），
当a=
当
解不等式（x-a）（x+a-1）＜0得：x∈（1-a，a）．
综上：当0≤a＜
当a=
当
不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为______．
正确答案
（-∞，-1]∪[4，+∞）
解析
解：令y=|x+3|-|x-1|
当x＞1时，y=x+3-x+1=4
当x＜-3时，y=-x-3+x-1=-4
当-3≤x≤1时，y=x+3+x-1=2x+2 所以-4≤y≤4
所以要使得不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数x恒成立
只要a2-3a≥4即可
∴a≤-1或a≥4
故答案为：（-∞，-1]∪[4，+∞）
若x=1满足不等式ax2+2x+1＜0，则实数a的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：∵x=1满足不等式ax2+2x+1＜0，
∴a+2+1＜0，
∴a＜-3．
故选：B．
（2012秋•涪城区校级期中）已知二次不等式ax2+2x+b≤0的解集为
正确答案
解析
解：由题意，二次不等式ax2+2x+b≤0的解集为
∴a＞0，且a
∴
∵a＞b，∴a＞1
∴
令t=
∴
∵t＞0，∴
∴
∴
∴
故答案为：
已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}
（1）求实数m和n的值
（2）求不等式loga（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．
正确答案
解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）
（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增
由loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得x2+3x-3＞1（2分）
即 x2+3x-4＞0
x＞1 或 x＜-4（1分）
2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减
由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得：
即
-4＜
∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时原不等式的解集为：（-4
解析
解：（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）
（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增
由loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得x2+3x-3＞1（2分）
即 x2+3x-4＞0
x＞1 或 x＜-4（1分）
2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减
由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得：
即
-4＜
∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时原不等式的解集为：（-4
关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（-1，2），则关于x的不等式bx2-ax-2＞0的解集为（ ）
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为（-1，2），
∴-1，2是ax2+bx+2=0（a＜0）的两根
∴
∴a=-1，b=1
∴不等式bx2-ax-2＞0为x2+x-2＞0，
∴x＜-2或x＞1
故选B．
不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式ax2-bx+c＞0的解集为______．
正确答案
{x|-3＜x＜-2}
解析
解：由题意知：x=2，x=3是方程ax2+bx+c=0的两根，且a＜0，由韦达定理可得：
设方程ax2-bx+c=0的两根分别为x1，x2，由韦达定理得：
所以不等式ax2-bx+c＞0的解集为：{x|-3＜x＜-2}．
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