一元二次不等式及其解法
共4411题

一元二次不等式及其解法
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题型：简答题

简答题

解关于x的不等式：0≤x2-x-2≤4．

正确答案

解：不等式0≤x2-x-2≤4可化为

，

即；

解得，

即-2≤x≤-1或2≤x≤3，

∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}．

解析

解：不等式0≤x2-x-2≤4可化为

，

即；

解得，

即-2≤x≤-1或2≤x≤3，

∴原不等式的解集为{x|-2≤x≤-1或2≤x≤3}．

题型：填空题

填空题

已知二次函数f（x）的二次项系数a，且不等式f（x）＞-x的解集为（1，2），若f（x）的最大值为正数，则a的取值范围是______

正确答案

解析

解：设f（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意得方程f（x）=-x两个根是1，2，

即ax2+（b+1）x+c=0两个根是1，2．

∴

∴b=-3a-1，c=2a

又f（x）的最大值为正数，即

消去b，c得到关于a不等式，解得a的取值范围是

故填：．

题型：填空题

填空题

已知二次不等式x2-12x+9＜0的解集为（α，β），则=______．

正确答案

解析

解：∵二次不等式x2-12x+9＜0的解集为（α，β），

∴α+β=12，αβ=9，且0＜α＜β；

∴=

=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

若函数f（x）=ax2+（a+3）x-1，当0≤x≤m时有-≤y≤-1，则实数m的取值范围是______．

正确答案

解析

解：（1）当a=0时，f（x）=3x-1，∴f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．

（2）当a＞0时，f（x）=a-1-．当x时，函数f（x）单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．

（3）当a＜0时，f（x）=a-1-．

①≥0，即-3≤a＜0时，当x＞时，函数f（x）单调递增；当x＜时，函数f（x）单调递减．

当≥m时，函数f（x）在0≤x≤m时单调递增，而f（0）=-1，因此不符合题意，舍去．

当0＜＜m时，函数f（x）在0≤x≤时单调递增，在≤x≤m时单调递减．f（0）=-1，不符合题意，舍去．

②＜0，即a＜-3时，函数f（x）在[0，m]上单调递减，

∴，化为a=＜-3，且m＞0，

解得0＜．

∴实数m的取值范围是．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

关于x的不等式（1-a）x2+2x+2＞0恒成立，求a的取值范围．

正确答案

解：∵关于x的不等式（1-a）x2+2x+2＞0恒成立，

∴，

即，

解得a＜；

∴a的取值范围是（-∞，）．

解析

解：∵关于x的不等式（1-a）x2+2x+2＞0恒成立，

∴，

即，

解得a＜；

∴a的取值范围是（-∞，）．

题型：填空题

填空题

关于x的不等式x2-（2m-1）x+m2-m＞0的解集是______．

正确答案

{x|x＜m-1或x＞m}

解析

解：关于x的不等式x2-（2m-1）x+m2-m＞0 即（x-m）（x-m+1）＞0，

解得 x＜m-1或x＞m，

故答案为：{x|x＜m-1或x＞m}．

题型：简答题

简答题

解不等式：-3x2+3x+10＜0．

正确答案

解：不等式-3x2+3x+10＜0可化为3x2-3x-10＞0，

∵△=（-3）2-4×3×（-10）=129＞0，

∴对应方程3x2-3x-10=0有两个实数根为

x1=，x2=，且x1＜x2；

∴原不等式的解集为{x|x＜或x＞}．

解析

解：不等式-3x2+3x+10＜0可化为3x2-3x-10＞0，

∵△=（-3）2-4×3×（-10）=129＞0，

∴对应方程3x2-3x-10=0有两个实数根为

x1=，x2=，且x1＜x2；

∴原不等式的解集为{x|x＜或x＞}．

题型：单选题

单选题

不等式x2≥3x的解集是（　　）

A{x|0≤x≤3}

B{x|x≤0，或x≥3}

C{x|0＜x＜3}

D{x|x＜0，或x＞3}

正确答案

解析

解：不等式x2≥3x化为x（x-3）≥0，解得x≥3或x≤0．

∴不等式的解集为{x|x≥3或x≤0}．

故选：B．

题型：简答题

简答题

已知二次函数f（x）=ax2-bx+1．

（1）若f（x）＜0的解集是（，），求实数a，b的值；

（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在[0，1]上的最小值为-1，求a的值．

正确答案

解：（1）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（，），

故方程ax2-bx+1=0的两根是x1=，x2=，

所以=x1x2=，=x1+x2=，

所以a=12，b=7．

（2）∵b=a+2，

∴f（x）=ax2-（a+2）x+1=a（x-）2-+1，

对称轴x==+，

当a≥2时，x==+∈（，1]，

∴f（x）min=f（）=1-=-1，∴a=2；

当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=-1成立．

综上可得：a=1或a=2．

解析

解：（1）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（，），

故方程ax2-bx+1=0的两根是x1=，x2=，

所以=x1x2=，=x1+x2=，

所以a=12，b=7．

（2）∵b=a+2，

∴f（x）=ax2-（a+2）x+1=a（x-）2-+1，

对称轴x==+，

当a≥2时，x==+∈（，1]，

∴f（x）min=f（）=1-=-1，∴a=2；

当a=1时，x==+=，∴f（x）min=f（1）=-1成立．

综上可得：a=1或a=2．

题型：单选题

单选题

若不等式x2-px+q=0的解集为（-，），则不等式qx2+px+1＞0的解集为（　　）

A（-3，2）

B（-2，3）

C（-，）

D（-，）

正确答案

解析

解：不等式x2-px+q=0的解集为（-，），

则-，是方程x2-px+q=0的两根，

则-+=p，-×=q，

即有p=-，q=-．

则qx2+px+1＞0即为-x2-x+1＞0，

即为x2+x-6＜0，

解得-3＜x＜2．

则解集为（-3，2）．

故选A．

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