- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知0＜m＜1，解关于x的不等式
正确答案
解：当x-3＞0，即x＞3时，mx＞x-3，（1-m）x＜3
因为0＜m＜1，则1-m＞0，∴
当x-3＜0，即x＜3时，mx＜x-3，（1-m）x＞3
因为0＜m＜1，则1-m＞0，
∴综上知，
解析
解：当x-3＞0，即x＞3时，mx＞x-3，（1-m）x＜3
因为0＜m＜1，则1-m＞0，∴
当x-3＜0，即x＜3时，mx＜x-3，（1-m）x＞3
因为0＜m＜1，则1-m＞0，
∴综上知，
已知不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＞1或x＜-3}，则不等式
正确答案
解析
解：由不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＞1或x＜-3}，知-3、1为方程ax2+bx-3=0的两根，
所以
则不等式
则不等式
故答案为：A
若不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|-1＜x＜3}，则a+b=______．
正确答案
1
解析
解：∵不等式ax2+bx+3＞0的解集为{x|-1＜x＜3}，
∴一元二次方程ax2+bx+3=0的两个实数根为-1和3，
由根与系数的关系，得
解得a=-1，b=2；
∴a+b=-1+2=1．
故答案为：1．
若对于任意x∈R，都有（m-2）x2-2（m-2）x-4＜0恒成立，则实数m的取值范围是______．
正确答案
（-2，2]
解析
解：当m-2=0，有-4＜0恒成立；
当m-2≠0，令y=（m-2）x2-2（m-2）x-4，
∵y＜0恒成立，
∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，
即m-2＜0，且△=4（m-2）2+16（m-2）＜0，
解得-2＜m＜2；
综上所述，k的取值范围为-2＜m≤2；
故答案为：（-2，2]
已知a，b为不等的两个实数，集合M={a2-4a，-1}，N={b2-4b+1，-2}，f：x→x表示把M中的元素映射到N中仍为x，则a+b=（ ）
正确答案
解析
解：由题意知，b2-4b+1=-1，且a2-4a=-2，
∴a，b是方程x2-4x+2=0的两个根，
根据根与系数的关系，故a+b=4，
故选D．
已知实数x满足
正确答案
解析
解：设
即a≥
设y=
即（3y-1）t2-t+y=0，∴△=1-4（3y-1）y≥0，
∴-
由于a≥
则实数a的最小值为 
故答案为：
设全集U=R，集合A={x|6-x-x2＞0}，集合
（Ⅰ）求集合A与B；
（Ⅱ）求A∩B，（CUA）∪B．
正确答案
解：（I）由6-x-x2＞0，得x2+x-6＜0，即（x+3）（x-2）＜0，解得-3＜x＜2．
故A={x|-3＜x＜2}…（3分）
由
故B={x|x＜-3或x＞1}…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A={x|-3＜x＜2}，B={x|x＜-3或x＞1}，
∴A∩B={x|1＜x＜2}…（8分）
∵CUA={x|x≤-3或x≥2}，…（10分）∴（CUA）∩B={x|x≤-3或x＞1}…（12分）
解析
解：（I）由6-x-x2＞0，得x2+x-6＜0，即（x+3）（x-2）＜0，解得-3＜x＜2．
故A={x|-3＜x＜2}…（3分）
由
故B={x|x＜-3或x＞1}…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A={x|-3＜x＜2}，B={x|x＜-3或x＞1}，
∴A∩B={x|1＜x＜2}…（8分）
∵CUA={x|x≤-3或x≥2}，…（10分）∴（CUA）∩B={x|x≤-3或x＞1}…（12分）
已知函数f（x）=ax2+（b-8）x-a-ab，当x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0
（1）求a、b的值；
（2）若（c-1）x2+bx+a≤0的解集为R，求实数c的取值范围．
正确答案
解：（1）∵函数x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，
∴x=2或x=-3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＜0．
即f（2）=0，f（-3）=0，
∴利用根与系数之间的关系可得
（2）由（1）知a=-3，b=5，
∴不等式（c-1）x2+bx+a≤0等价为（c-1）x2+5x-3≤0，
当c=1时，不等式等价为5x-3≤0，此时x
当c≠1时，要使（c-1）x2+5x-3≤0的解集为R，
则有
解得c≤
综上c≤
即实数c的取值范围是c≤
解析
解：（1）∵函数x∈（-3，2）时，f（x）＞0，当x∈（-∞，-3）∪（2，+∞）时，f（x）＜0，
∴x=2或x=-3是对应方程f（x）=0的两个根，且a＜0．
即f（2）=0，f（-3）=0，
∴利用根与系数之间的关系可得
（2）由（1）知a=-3，b=5，
∴不等式（c-1）x2+bx+a≤0等价为（c-1）x2+5x-3≤0，
当c=1时，不等式等价为5x-3≤0，此时x
当c≠1时，要使（c-1）x2+5x-3≤0的解集为R，
则有
解得c≤
综上c≤
即实数c的取值范围是c≤
已知函数f（x）=ax2-3x+2a
（1）若f（x）≤0的解集为[1，2]，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在区间[0，3]的值域．
正确答案
解：（1）∵f（x）≤0的解集为[1，2]，∴
（2）由（1）知，f（x）=x2-3x+2，其对称轴为x=
故函数f（x）在区间[0，
最小值为f（
∴函数f（x）在区间[0，3]的值域是[-
解析
解：（1）∵f（x）≤0的解集为[1，2]，∴
（2）由（1）知，f（x）=x2-3x+2，其对称轴为x=
故函数f（x）在区间[0，
最小值为f（
∴函数f（x）在区间[0，3]的值域是[-
若不等式5-x＞7|x+1|和不等式ax2+bx-2＞0的解集相同，则a、b的值分别是（ ）
正确答案
解析
解：不等式5-x＞7|x+1|，等价于x-5＜7（x+1）＜5-x，
∴
即不等式5-x＞7|x+1|的解集为：{x|-2＜x＜-
∵不等式5-x＞7|x+1|和不等式ax2+bx-2＞0的解集相同，
∴a＜0且方程ax2+bx-2=0的两个实数根为x1=-2，
根据一元二次方程根与系数的关系，得
解之得，a=-4，b=-9
故选C
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