- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
不等式
正确答案
（1，2）
解析
解：不等式
即
即（x-2）（x-1）＜0，
解得1＜x＜2，
所以不等式
故答案为：（1，2）．
不等式x2-3x+2＜0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：不等式x2-3x+2＜0可化为（x-1）（x-2）＜0，∴1＜x＜2．
∴不等式x2-3x+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}．
故选D．
解下列关于x的不等式：
（1）x2-5x+6＞0（2）（x+a）（x-2a+1）＜0．
正确答案
解：（1）∵x2-5x+6＞0
∴（x-2）（x-3）＞0
∴x＞3或x＜2
∴不等式的解集是{x|x＞3或x＜2}…．（6分）
（2）（x+a）（x-2a+1）=0⇒x1=-a，x2=2a-1
①当
②当
③当
综上所述：当
当
当
解析
解：（1）∵x2-5x+6＞0
∴（x-2）（x-3）＞0
∴x＞3或x＜2
∴不等式的解集是{x|x＞3或x＜2}…．（6分）
（2）（x+a）（x-2a+1）=0⇒x1=-a，x2=2a-1
①当
②当
③当
综上所述：当
当
当
已知二次函数f（x）=mx2-2x-3，若不等式f（x）＜0的解集为（-1，n）．
（1）解关于x的不等式：2x2-4x+n＞（m+1）x-1；
（2）是否存在实数a∈（0，1），使得关于x的函数y=f（ax）-4ax+1（x∈[1，2]）的最小值为-4？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）∵f（x）=mx2-2x-3，且f（x）＜0的解集为（-1，n），
∴方程mx2-2x-3=0的两个实数根是-1，n，且m＞0；
∴
解得
∴原不等式可化为（x-2）（x-1）＞0，
解得解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）设t=ax，且a∈（0，1），
∴x∈[1，2]时，ax∈[a2，a]；
函数y=f（ax）-4ax+1=t2-（4a+2）t-3，
对称轴是t=2a+1＞a，
∴ymin=a2-（4a+2）a-3=-4，
解得a=
∴存在实数a=
解析
解：（1）∵f（x）=mx2-2x-3，且f（x）＜0的解集为（-1，n），
∴方程mx2-2x-3=0的两个实数根是-1，n，且m＞0；
∴
解得
∴原不等式可化为（x-2）（x-1）＞0，
解得解集为（-∞，1）∪（2，+∞）；
（2）设t=ax，且a∈（0，1），
∴x∈[1，2]时，ax∈[a2，a]；
函数y=f（ax）-4ax+1=t2-（4a+2）t-3，
对称轴是t=2a+1＞a，
∴ymin=a2-（4a+2）a-3=-4，
解得a=
∴存在实数a=
解关于x的不等式：x2-ax-30a2＜0．
正确答案
解：x2-ax-30a2＜0可化为（x+5a）（x-6a）＜0，
当a＞0时，不等式的解集为{x|-5a＜x＜6a}；
当a=0时，不等式的解集为∅；
当a＜0时，不等式的解集为{x|6a＜x＜-5a}．
解析
解：x2-ax-30a2＜0可化为（x+5a）（x-6a）＜0，
当a＞0时，不等式的解集为{x|-5a＜x＜6a}；
当a=0时，不等式的解集为∅；
当a＜0时，不等式的解集为{x|6a＜x＜-5a}．
解不等式：3x2-x-4＞0．
正确答案
解：不等式3x2-x-4＞0可化为
（x+1）（3x-4）＞0，
解得x＜-1，或x＞
∴原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞
解析
解：不等式3x2-x-4＞0可化为
（x+1）（3x-4）＞0，
解得x＜-1，或x＞
∴原不等式的解集为{x|x＜-1，或x＞
解不等式x2一6x+9≤0．
正确答案
解：不等式x2一6x+9≤0可化为（x-3）2≤0，
解得x=3，故解集为{x|x=3}
解析
解：不等式x2一6x+9≤0可化为（x-3）2≤0，
解得x=3，故解集为{x|x=3}
不等式（1-x）（x+1）＜0的解集为______．
正确答案
（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析
解：不等式（1-x）（x+1）＜0化为（x-1）（x+1）＞0，
解得x＞1或x＜-1．
∴不等式的解集是（-∞，-1）∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，-1）∪（1，+∞）．
若不等式x2+mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围是______．
正确答案
（-2，2）
解析
解：∵不等式x2+mx+1＞0的解集为R，∴△=m2-4＜0，解得-2＜m＜2．
∴m的取值范围是（-2，2）．
故答案为（-2，2）．
是否存在m使得不等式2x-1＞m（x2-1）对满足|x|≤2的一切实数x的取值都成立．
正确答案
解：令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），
①当m=0时，f（x）=2x-1在
②当m≠0时，若使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x2-1）成立，
则实数m只需满足下式：
解之得结果为空集．
故没有m满足题意．
解析
解：令f（x）=2x-1-m（x2-1）=-mx2+2x+（m-1），
①当m=0时，f（x）=2x-1在
②当m≠0时，若使|x|≤2的一切实数都有2x-1＞m（x2-1）成立，
则实数m只需满足下式：
解之得结果为空集．
故没有m满足题意．
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