- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
函数f（x）=x2+ax+3．
（1）当x∈R时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[-2，2]时，f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
正确答案
须△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x2+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
当-
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
-
综合①②③得a∈[-7，2]．
解析
须△=a2-4（3-a）≤0，即a2+4a-12≤0，所以-6≤a≤2．
（2）当x∈[-2，2]时，设g（x）=x2+ax+3-a≥0，
分如下三种情况讨论（如图所示）：
①如图（1），当g（x）的图象恒在x轴上方时，满足条件时，有△=a2-4（3-a）≤0，即-6≤a≤2．
②如图（2），g（x）的图象与x轴有交点，
当-
③如图（3），g（x）的图象与x轴有交点，
-
综合①②③得a∈[-7，2]．
已知不等式ax2-bx+1≥0的解集是[-1，2]，则不等式x2-bx+a＜0的解集是（ ）
A（-
B（-∞，-1）∪（
C（-∞，-
D（-1，
正确答案
解析
解：∵不等式ax2-bx+1≥0的解集是[-1，2]，
∴-1，2是ax2-bx+1=0的两个实数根，且a＜0．
∴
∴不等式x2-bx+a＜0即为
化为2x2+x-1＜0，解得
∴不等式x2-bx+a＜0的解集是{x|
故选：D．
不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则不等式bx2-ax-1＞0的解集为（ ）
A（2，3）
B（
C（-3，-2）
D（
正确答案
解析
解：∵不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，
∴2，3是一元二次方程x2-ax-b=0的两个实数根，
∴
解得a=5，b=-6．
则不等式bx2-ax-1＞0化为-6x2-5x-1＞0，即6x2+5x+1＜0，因式分解为（3x+1）（2x+1）＜0，解得
故选D．
若不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，则x的取值范围为______．
正确答案
解：∵不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，
∴x2+（x-1）p-4x+3＞0在p∈[0，4]恒成立，
即函数f（p）=x2+（x-1）p-4x+4＞0在p∈[0，4]恒成立；
∴
即
解得x＜-1，或x＞3，
∴x的取值范围是{x|x＜-1，或x＞3}．
故答案为：{x|x＜-1，或x＞3}．
解析
解：∵不等式x2+px＞4x+p-3对于0≤p≤4恒成立，
∴x2+（x-1）p-4x+3＞0在p∈[0，4]恒成立，
即函数f（p）=x2+（x-1）p-4x+4＞0在p∈[0，4]恒成立；
∴
即
解得x＜-1，或x＞3，
∴x的取值范围是{x|x＜-1，或x＞3}．
故答案为：{x|x＜-1，或x＞3}．
关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-4，1），则不等式bx2+cx+a＜0的解集是______．
正确答案
（-∞，
解析
解：∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+c＞0的解集是（-4，1），
∴
∴不等式bx2+cx+a＜0可化为3ax2-4ax+a＜0，即3x2-4x+1＞0，
解得x∈（-∞，
故答案为：∈（-∞，
不等式（x-2）（2x+1）＞0的解集是______．
正确答案
（2，+∞）∪（-∞，-
解析
解：不等式（x-2）（2x+1）＞0的解集是（2，+∞）∪（-∞，-
故答案为：（2，+∞）∪（-∞，-
解下列关于x不等式：x2-（4a+1）x+3a（a+1）≤0．
正确答案
解：原不等式可以化为（x-3a）[x-（a+1）]＜0；
（1）当3a=a+1，即a=
（2）当3a＞a+1，即a＞
（3）当3a＜a+1，即a＜
综上：当a=
当a＞
当a＜
解析
解：原不等式可以化为（x-3a）[x-（a+1）]＜0；
（1）当3a=a+1，即a=
（2）当3a＞a+1，即a＞
（3）当3a＜a+1，即a＜
综上：当a=
当a＞
当a＜
（理科）解关于x的不等式：
正确答案
解：移项整理得
∴①当a＞1时，
结合图象得：-a＜x≤-1或x≥2；
②当a=1时：x≥2；
∴x≥2；
③当0＜a＜1时，
结合图象得：-1≤x＜-a或x≥2．
综上所述：
①当a＞1时：解集为：{x|-a＜x≤-1或x≥2}；
②当a=1时：解集为：{x|x≥2}；
③当0＜a＜1时：解集为：{x|-1≤x＜-a或x≥2}．
解析
解：移项整理得
∴①当a＞1时，
结合图象得：-a＜x≤-1或x≥2；
②当a=1时：x≥2；
∴x≥2；
③当0＜a＜1时，
结合图象得：-1≤x＜-a或x≥2．
综上所述：
①当a＞1时：解集为：{x|-a＜x≤-1或x≥2}；
②当a=1时：解集为：{x|x≥2}；
③当0＜a＜1时：解集为：{x|-1≤x＜-a或x≥2}．
已知实数x、y满足4x2+y2-xy=1，且不等式2x+y+c＞0恒成立，则c的取值范围是______．
正确答案
（
解析
解：∵4x2+y2-xy=1，
∴（2x+y）2=1+5xy，
∴2x+y=±
又∵不等式2x+y+c＞0恒成立，
∴2x+y＞-c；
令-
得c＞
又∵4x2+y2≥2•2x•y=4xy，当且仅当2x=y时“=”成立，
∴4xy-xy≤1，
即xy≤
∴c＞
∴c的取值范围是（
故答案为：（
用区间表示不等式x2-2a+a2-1＜0的解集______．
正确答案
（a-1，a+1）
解析
解：把不等式x2-2a+a2-1＜0因式分解得：
[x-（a+1）][x-（a-1）]＜0，
解得：a-1＜x＜a+1，
则原不等式的解集为（a-1，a+1）．
故答案为：（a-1，a+1）
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