- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知函数f（x）=ax2-2（a-1）x+2
（1）若关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，求实数a和m的值；
（2）解关于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）．
正确答案
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，
∴-1，2是方程ax2-2（a-1）x+2=m的两个实数根，且a＞0．
∴
∴实数a=2，m=6；
（2）关于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）化为ax2-2（a-1）x+a-2＜0．
①当a=0时，上述不等式化为2x-2＜0，解得x＜1，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，上述不等式化为
∵
③当a＜0时，上述不等式化为
∵
综上可知：①当a=0时，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，其解集为{x|
③当a＜0时，其解集为{x|x＜1或
解析
解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜m的解集为{x|-1＜x＜2}，
∴-1，2是方程ax2-2（a-1）x+2=m的两个实数根，且a＞0．
∴
∴实数a=2，m=6；
（2）关于x的不等式：f（x）＜4-a（a∈R）化为ax2-2（a-1）x+a-2＜0．
①当a=0时，上述不等式化为2x-2＜0，解得x＜1，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，上述不等式化为
∵
③当a＜0时，上述不等式化为
∵
综上可知：①当a=0时，其解集为{x|x＜1}．
②当a＞0时，其解集为{x|
③当a＜0时，其解集为{x|x＜1或
不等式mx2+4x+m-2＜0的解集是∅，则m的取值范围是______．
正确答案
m≥1+
解析
解：∵不等式mx2+4x+m-2＜0的解集是∅，
∴
即
解得
∴m≥1+
即m的取值范围是m≥1+
故答案为：m≥1+
（理科）若对于一切正实数x不等式
正确答案
a＜
解析
解：∵对于一切正实数x不等式
由于
∴
∴a＜
故答案为 a＜
若不等式ax2-2x+3＞0的解集是（-3，1），则a取的值为（ ）
正确答案
解析
解：∵不等式ax2-2x+3＞0的解集是（-3，1），
∴a＜0，方程ax2-2x+3=0的根为-3，1，
∴由根与系数的关系得
∴a=-1
故选B
设函数
正确答案
解析
观察图象可得：
f（t）＞2，
则实数t的取值范围是：
（-∞，-2）∪（3，+∞）
故选D．
已知对∀x∈（0，+∞），不等式x2-ax+2＞0恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
解析
解：∵对∀x∈（0，+∞），不等式x2-ax+2＞0恒成立⇔
∵
∴
∴a的取值范围是
故答案为：
解下列不等式：
（1）x2+2x＞1；
（2）-3x2+6x≥2．
正确答案
解：（1）不等式x2+2x＞1可化为x2+2x-1＞0，
∵△=22-4×1×（-1）=8＞0，
∴对应方程x2+2x-1=0有两个实数根是
x1=-1-
∴该不等式的解集为{x|x＜-1-
（2）不等式-3x2+6x≥2可化为3x2-6x+2≤0，
∵△=（-6）2-4×3×2=12＞0，
∴对应方程3x2-6x+2=0有两个实数根是
x1=1-
∴该不等式的解集为{x|1-
解析
解：（1）不等式x2+2x＞1可化为x2+2x-1＞0，
∵△=22-4×1×（-1）=8＞0，
∴对应方程x2+2x-1=0有两个实数根是
x1=-1-
∴该不等式的解集为{x|x＜-1-
（2）不等式-3x2+6x≥2可化为3x2-6x+2≤0，
∵△=（-6）2-4×3×2=12＞0，
∴对应方程3x2-6x+2=0有两个实数根是
x1=1-
∴该不等式的解集为{x|1-
若关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为
正确答案
解析
解：∵关于x的不等式ax2+bx+2＞0的解集为
∴a＜0，且
∴
∴不等式ax2-bx+2＜0化为-12x2+2x+20．
解得：
∴不等式ax2-bx+2＜0的解集为
故答案为：
设函数f（x）=
A（-∞，-2）
B（-
C（-2，-
D（-∞，-2）∪（-
正确答案
解析
解：当x≤-1时，f（x）=（x+1）2，f（x）＞1即：（x+1）2＞1，
解得：x＞0或x＜-2，
故x＜-2；
当x＞-1时，f（x）=2x+2，f（x）＞1即：2x+2＞1，
解得：x＞-
故x＞-
综上所述，实数x的取值范围是（-∞，-2）∪（-
故选D．
若x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，则bx2-ax-1＞0的解集为（ ）
A
B
C
D
正确答案
解析
解：由题设，方程x2-ax-b=0的解集为{2，3}，
由韦达定理a=2+3=5，-b=2×3=6，
即a=5，b=-6，代入bx2-ax-1＞0有6x2+5x+1＜0，解得 
故选C．
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