- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知函数f（x）=2x2+（4-m）x+4-m，g（x）=mx，若对于任一实数x，f（x）与g（x）的值至少有一个为正数，则实数m的取值范围是（ ）
正确答案
解析
解：当△=m2-16＜0时，即-4＜m＜4，显然成立，排除D
当m=4，f（0）=g（0）=0时，显然不成立，排除A；
当m=-4，f（x）=2（x+2）2，g（x）=-4x显然成立，排除B；
故选C．
二次函数y=ax2+bx+c（x∈R）的部分对应值如表：
则不等式ax2+bx+c＞0的解集是______．
正确答案
{x|x＞3或x＜-2}
解析
解：由表可设y=a（x+2）（x-3），
又∵x=0，y=-6，代入知a=1．
∴y=（x+2）（x-3）
∴ax2+bx+c=（x+2）（x-3）＞0得x＞3或x＜-2．
故答案为：{x|x＞3或x＜-2}
若不等式ax2+5x-2＞0的解集是
（1）求实数a的值；
（2）求不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集．
正确答案
解：（1）∵ax2+5x-2＞0的解集是
∴a＜0，
解得 a=-2；
（2）则不等式ax2-5x+a2-1＞0可化为
-2x2-5x+3＞0
解得
故不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集
解析
解：（1）∵ax2+5x-2＞0的解集是
∴a＜0，
解得 a=-2；
（2）则不等式ax2-5x+a2-1＞0可化为
-2x2-5x+3＞0
解得
故不等式ax2-5x+a2-1＞0的解集
解方程式
正确答案
解：两边同乘3（x2-1），得：
3（x2+1）+3（x2-1）=10（x2-1），
即6x2+6=10x2-10，
∴4x2=16
∴x=±2
经检验，均为解
∴x=±2
解析
解：两边同乘3（x2-1），得：
3（x2+1）+3（x2-1）=10（x2-1），
即6x2+6=10x2-10，
∴4x2=16
∴x=±2
经检验，均为解
∴x=±2
设函数f（x）=mx2-mx-1．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．
正确答案
解：（1）要使mx2-mx-1＜0恒成立，
若m=0，显然-1＜0；
若m≠0，则有
∴-4＜m≤0．
（2）当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；当m≠0时，该函数的对称轴是x=
当m＞0时，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m-1＜0得m＜
当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时-4＜m＜0；若△≥0，则m≤-4，
由于函数f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=-1＜0显然成立，综上可知：m＜
解析
解：（1）要使mx2-mx-1＜0恒成立，
若m=0，显然-1＜0；
若m≠0，则有
∴-4＜m≤0．
（2）当m=0时，f（x）=-1＜0显然恒成立；当m≠0时，该函数的对称轴是x=
当m＞0时，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m-1＜0得m＜
当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时-4＜m＜0；若△≥0，则m≤-4，
由于函数f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=-1＜0显然成立，综上可知：m＜
（2016•福建模拟）若不等式x2-ax-b＜0的解集为{x|2＜x＜3}，则a+b=______．
正确答案
-1
解析
解：由题意不等式x2-ax-b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，故3，2是方程x2-ax-b=0的两个根，
∴3+2=a，3×2=-b
∴a=5，b=-6
∴a+b=5-6=-1
故答案为：-1
已知不等式
正确答案
-3
3
解析
解：∵不等式
∴x=2与x=4是方程
∴
解得：m=-3，n=3
故答案为：-3，3
已知不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0，那么不等式cx2+bx+a＜0的解是
（ ）
Ax＞
Bx＞-
C
D-
正确答案
解析
解：因为不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解为α＜x＜β，其中β＞α＞0．
所以有α+β=-
设方程cx2+bx+a=0的两根为m，n，且m＜n．
则m+n=-
mn=
所以可得n=
又因为c＜0，不等式cx2+bx+a＜0的解x＞
故选 A．
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R，且a≠0），当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有f（x）＞0，且f（2）=5．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（I）由题意知，∵当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有f（x）＞0
∴-3，1是二次方程ax2+bx+c=0的两根
可设f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）
∵f（2）=5，
∴f（2）=5a=5，
∴a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=x2+2x-3
（II）关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，即关于x的方程x2+2x-9m-6=0有实数解
∴△=4+4（9m+6）≥0
∴
解析
解：（I）由题意知，∵当x∈[-3，1]时，有f（x）≤0；当x∈（-∞，-3）∪（1，+∞）时，有f（x）＞0
∴-3，1是二次方程ax2+bx+c=0的两根
可设f（x）=a（x-1）（x+3）（a≠0）
∵f（2）=5，
∴f（2）=5a=5，
∴a=1
∴f（x）的解析式为f（x）=x2+2x-3
（II）关于x的方程f（x）=9m+3有实数解，即关于x的方程x2+2x-9m-6=0有实数解
∴△=4+4（9m+6）≥0
∴
已知二次函数f（x）=x2+px+q，当f（x）＜0时，有
（1）求p和q的值；
（2）解不等式qx2+px+1＞0．
正确答案
解：（1）∵二次函数f（x）=x2+px+q，当f（x）＜0时，有
∴
∴
∴
（2）不等式qx2+px+1＞0为不等式
即x2-x-6＜0
∴（x+2）（x-3）＜0
∴不等式的解集为{x|-2＜x＜3}
解析
解：（1）∵二次函数f（x）=x2+px+q，当f（x）＜0时，有
∴
∴
∴
（2）不等式qx2+px+1＞0为不等式
即x2-x-6＜0
∴（x+2）（x-3）＜0
∴不等式的解集为{x|-2＜x＜3}
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