- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
两题任选一题：
（1）k是什么实数时，方程x2-（2k+3）x+3k2+1=0有实数根？
（2）设方程8x2-（8sinα）x+2+cos2α=0的两个根相等，求α．
正确答案
（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2-4ac≥0，
所以[-（2k+3）]2-4（3k2+1）≥0，
即8k2-12k-5≤0，∴
故当
（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式
△=b2-4ac=0，
所以（-8sinα）2-4•8•（2+cos2α）=0，
64sin2α-64-32cos2α=0，
2sin2α-cos2α-2=0，
解析
（1）解：根据一元二次方程有实数根的条件，判别式
△=b2-4ac≥0，
所以[-（2k+3）]2-4（3k2+1）≥0，
即8k2-12k-5≤0，∴
故当
（2）解：根据一元二次方程有等根的条件，判别式
△=b2-4ac=0，
所以（-8sinα）2-4•8•（2+cos2α）=0，
64sin2α-64-32cos2α=0，
2sin2α-cos2α-2=0，
若关于x的不等式x2＜2-|x-a|至少有一个负数解，则实数a的取值范围是______．
正确答案
（-
解析
解：不等式x2＜2-|x-a|即为|x-a|＜2-x2且 0＜2-x2
在同一坐标系画出y=2-x2（x＜0，y＞0）和 y=|x|两个图象
将绝对值函数y=|x|向右移动当左支经过 （0，2）点，得a=2
将绝对值函数y=|x|向左移动让右支与抛物线相切 （-
即方程2-x2=x-a只有一解，
由△=0，解可得a=-
当a=-
因此实数a的取值范围是（-
故答案为：（-
不等式（|x|+2）（1-x2）≤0的解集是（ ）
正确答案
解析
解：∵|x|+2≥2＞0恒成立，
∴不等式（|x|+2）（1-x2）≤0的解集就是1-x2≤0的解集，
由1-x2≤0得：x≤-1或x≥1，
∴不等式（|x|+2）（1-x2）≤0的解集是（-∞，-1]∪[1，+∞）．
故选：B．
设函数
正确答案
解析
解：对于求分段函数 
可以分段求解：
当x＜1时候，f（x）=|x+1|≥1，解得x≥0或x≤-2．根据前提条件故0≤x≤1，x≤-2满足条件．
当x≥1时候，f（x）=-x+3≥1，解得x≤2，根据前提条件故1≤x≤2满足条件．
综上所述x的取值范围是x≤-2或0≤x≤2．
故选C．
若a＞c且b+c＞0，则不等式
正确答案
{x|-b＜x＜c或x＞a}
解析
解：∵a＞c且b+c＞0，
∴a＞c＞-b；
∴
解①得：x＞a；
解②得：-b＜x＜c；
∴不等式
故答案为：{x|-b＜x＜c或x＞a}．
关于x的方程x2+bx+c=0的两根分别为x1=-2和
正确答案
解析
解：由题意，
∴不等式x2-
∴不等式的解集是
故答案为
解方程：
（1）3×|2x-1|-1=5；
（2）|x-|2x+1||=3；
（3）|x-2|+|x+5|=6；
（4）|x-5|+
正确答案
解：（1）∵3×|2x-1|-1=5，
∴3×|2x-1|=6，
∴|2x-1|=2，
∴2x-1=2或2x-1=-2，
解得x=
（2）∵|x-|2x+1||=3，∴该方程可化为
x-|2x+1|=3①或x-|2x+1|=-3②，
由①得，x-3=|2x+1|，
两边平方得（x-3）2=（2x+1）2，
化简得3x2+10x-8=0，
解得x=-4或x=
经检验，x=-4和x=
由②得，x+3=|2x+1|，
两边平方得，（x+3）2=（2x+1）2，
解得x=2或x=-
经检验x=2和x=-
综上，原方程的解为x=2或x=-
（3）∵|x-2|+|x+5|=6，
∴当x≥2时，方程化为（x-2）+（x+5）=6，解得x=
当-5＜x＜2时，方程化为（2-x）+（x+5）=6，即7=6，不合题意，应舍去；
当x≤-5时，方程化为（2-x）+（-x-5）=6，解得x=-
综上，该方程无解；
（4）∵|x-5|+
∴当x≥5时，方程化为（x-5）+（x-4）=1，解得x=5，满足题意；
当4＜x＜5时，方程化为（5-x）+（x-4）=1，即1=1，∴4＜x＜5，满足合题意；
当x≤4时，方程化为（5-x）+（4-x）=1，解得x=4，满足题意；
综上，该方程的解是[4，5]．
解析
解：（1）∵3×|2x-1|-1=5，
∴3×|2x-1|=6，
∴|2x-1|=2，
∴2x-1=2或2x-1=-2，
解得x=
（2）∵|x-|2x+1||=3，∴该方程可化为
x-|2x+1|=3①或x-|2x+1|=-3②，
由①得，x-3=|2x+1|，
两边平方得（x-3）2=（2x+1）2，
化简得3x2+10x-8=0，
解得x=-4或x=
经检验，x=-4和x=
由②得，x+3=|2x+1|，
两边平方得，（x+3）2=（2x+1）2，
解得x=2或x=-
经检验x=2和x=-
综上，原方程的解为x=2或x=-
（3）∵|x-2|+|x+5|=6，
∴当x≥2时，方程化为（x-2）+（x+5）=6，解得x=
当-5＜x＜2时，方程化为（2-x）+（x+5）=6，即7=6，不合题意，应舍去；
当x≤-5时，方程化为（2-x）+（-x-5）=6，解得x=-
综上，该方程无解；
（4）∵|x-5|+
∴当x≥5时，方程化为（x-5）+（x-4）=1，解得x=5，满足题意；
当4＜x＜5时，方程化为（5-x）+（x-4）=1，即1=1，∴4＜x＜5，满足合题意；
当x≤4时，方程化为（5-x）+（4-x）=1，解得x=4，满足题意；
综上，该方程的解是[4，5]．
已知函数f（x）=ax2-bx+1，
（Ⅰ）是否存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4），若存在，求实数a，b的值，若不存在请说明理由．
（Ⅱ）若a＜0，b=a-2，且不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，求a的取值范围．
正确答案
解：（Ⅰ）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax2-bx+1=0的两根为3，4，
则是3+4=
∴a=
而当a=
不等式ax2-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）满足要求
故不存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax2-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函数f（x）=ax2-（a-2）x+1是开口方向朝下，以x=
∴函数f（x）在（-2，-1）上单调递增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）
解析
解：（Ⅰ）不等式ax2-bx+1＞0的解集是（3，4）
故方程ax2-bx+1=0的两根为3，4，
则是3+4=
∴a=
而当a=
不等式ax2-bx+1＞0的解集是（-∞，3）∪（4，+∞）满足要求
故不存在实数a，b使f（x）＞0的解集是（3，4）．
（II）∵a＜0，b=a-2，
∴f（x）=ax2-（a-2）x+1，
又∵不等式f（x）≠0在（-2，-1）上恒成立，
又∵函数f（x）=ax2-（a-2）x+1是开口方向朝下，以x=
∴函数f（x）在（-2，-1）上单调递增
∴f（-2）≥0或f（-1）≤0
解得a＜0，所以a∈（-∞，0）（15分）
不等式
正确答案
解析
解：依题意：原不等式转化为：x（x+2）（x+3）＜0
解得：x＜-2或0＜x＜3
故选A
设函数f（x）=kxm，若f（1）=1，f（
A{x|-4≤x≤4}
B{x|0≤x≤4}
C{x|-
D{x|0
正确答案
解析
解：若f（1）=1，f（
则k=1，k•（
解得k=1，m=
即f（x）=
f（|x|）≤2，即
即有|x|≤4，
解得-4≤x≤4，
则解集为{x|-4≤x≤4|．
故选A．
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