一元二次不等式及其解法_章节学习

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题型：简答题

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简答题

（x-1）2＞a（x-2）+1，求x的集合．

正确答案

解：由（x-1）2＞a（x-2）+1，得

x2-（a+2）x+2a＞0．

当a=2时，不等式化为（x-2）2＞0，解得：x≠2；

当a＜2时，解得：x＜a或x＞2；

当a＞2时，解得：x＜2或x＞a．

∴当a=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；

当a＜2时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞2}；

当a＞2时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞a}．

解析

解：由（x-1）2＞a（x-2）+1，得

x2-（a+2）x+2a＞0．

当a=2时，不等式化为（x-2）2＞0，解得：x≠2；

当a＜2时，解得：x＜a或x＞2；

当a＞2时，解得：x＜2或x＞a．

∴当a=2时，不等式的解集为{x|x≠2}；

当a＜2时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞2}；

当a＞2时，不等式的解集为{x|x＜2或x＞a}．

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题型：单选题

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单选题

不等式x（x+1）＞0的解集是（　　）

A{x|x＞0}

B{x|x＜-1}

C{x|x＜-1或x＞0}

D{x|-1＜x＜0}

正确答案

C

解析

解：x（x+1）=0的两根为-1、0，

又函数y=x（x+1）的图象开口向上，

∴x（x+1）＞0的解集是{x|x＜-1或x＞0}，

故选C．

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题型：简答题

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简答题

若ax2+x+1＜0，求x的取值范围．

正确答案

解：当a=0时，不等式ax2+x+1＜0化为x+1＜0，解得：x＜-1；

当a＞0时，若a，则1-4a≤0，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅；

若，解ax2+x+1=0得：，

∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|}；

当a＜0时，1-4a＞0，解ax2+x+1=0得：，

∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|或}．

综上，当a＜0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|或}；

当a=0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜-1}；

当时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|}；

当a时，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅．

解析

解：当a=0时，不等式ax2+x+1＜0化为x+1＜0，解得：x＜-1；

当a＞0时，若a，则1-4a≤0，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅；

若，解ax2+x+1=0得：，

∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|}；

当a＜0时，1-4a＞0，解ax2+x+1=0得：，

∴不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|或}．

综上，当a＜0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|或}；

当a=0时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|x＜-1}；

当时，不等式ax2+x+1＜0的解集为{x|}；

当a时，不等式ax2+x+1＜0的解集为∅．

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题型：填空题

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填空题

若关于x的不等式x2+x＜a的解集是空集，则实数a的最大值 ______．

正确答案

解析

解：∵x2+x＜a，

∴x2+x-a＜0

∵关于x的不等式x2+x＜a的解集是空集

∴△=1+4a≤0

∴a≤-

故答案为：-

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题型：简答题

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简答题

解不等式：（x-2）2≥1．

正确答案

解：∵（x-2）2≥1．

∴（x-2-1）（x-2+1）≥0，

化为（x-3）（x-1）≥0，

解得x≥3或x≤1．

∴原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．

解析

解：∵（x-2）2≥1．

∴（x-2-1）（x-2+1）≥0，

化为（x-3）（x-1）≥0，

解得x≥3或x≤1．

∴原不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}．

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题型：单选题

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单选题

二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R的条件是（　　）

A

B

C

D

正确答案

D

解析

解：由题意可知二次不等式ax2+bx+c＜0，

对应的二次函数y=ax2+bx+c开口向下，所以a＜0

二次不等式ax2+bx+c＜0的解集是R，所以△＜0．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

已知f（x）=ax2+x-3．

（1）当a=2时，解不等式f（x）＞0；

（2）当a＞0时，∃x0∈[-1，2]，f（x）＞0，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）当a=2时不等式f（x）＞0为：2x2+x-3＞0，

即（2x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜，

所以不等式的解集是{x|x＞1或x＜}；

（2）因为当a＞0时，∃x0∈[-1，2]，f（x）＞0，

所以只要x∈[-1，2]，f（x）的最大值大于零即可，

函数f（x）=ax2+x-3的对称轴是x=，

由a＞0得，＜0，

①当-1＜＜0时，即a＞，f（x）的最大值是f（2）=4a-1，

所以4a-1＞0，解得a＞，即a，

②当≤-1时，此时0＜a≤，所以函数f（x）在[-1，2]递增，

则f（x）的最大值是f（2）=4a-1＞0，解得a＞，

所以＜a，

综上可得，a的取值范围是a＞．

解析

解：（1）当a=2时不等式f（x）＞0为：2x2+x-3＞0，

即（2x+3）（x-1）＞0，解得x＞1或x＜，

所以不等式的解集是{x|x＞1或x＜}；

（2）因为当a＞0时，∃x0∈[-1，2]，f（x）＞0，

所以只要x∈[-1，2]，f（x）的最大值大于零即可，

函数f（x）=ax2+x-3的对称轴是x=，

由a＞0得，＜0，

①当-1＜＜0时，即a＞，f（x）的最大值是f（2）=4a-1，

所以4a-1＞0，解得a＞，即a，

②当≤-1时，此时0＜a≤，所以函数f（x）在[-1，2]递增，

则f（x）的最大值是f（2）=4a-1＞0，解得a＞，

所以＜a，

综上可得，a的取值范围是a＞．

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题型：填空题

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填空题

若不等式x2-6x+m＞0的解集为{x|x∈R且x≠3}，则实数m的值为______．

正确答案

9

解析

解：由题意可得△=36-4m=0，解得m=9．

故答案为9．

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题型：简答题

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简答题

不等式ax2+bx+c＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}．

（1）若方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根，求a，b，c的值；

（2）若y=ax2+bx+c的最大值为正数，求a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵不等式ax2+bx+c＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，

∴方程ax2+（b+2）x+c=0的两个实数根为1、3，

且a＜0；

∴1+3=-①，1×3=②；

即c=3a，b=-4a-2；

又∵方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根，

∴△=b2-4a•（c+6a）=0，

即（-4a-2）2-4a•（3a+6a）=0，

化简得5a2-4a-1=0，

解得a=1（不合题意，舍），a=-；

∴b=-2=-，c=-；

（2）∵函数y=ax2+bx+c=ax2-（4a+2）x+3a，

其最大值为正数，

∴＞0，

∴4a•3a-（4a+2）2＜0，

化简得a2+4a+1＞0，

解得a＞-2+，或a＜-2-，

∴a的取值范围是{a|a＜-2-，或-2+＜a＜0}．

解析

解：（1）∵不等式ax2+bx+c＞-2x的解集为{x|1＜x＜3}，

∴方程ax2+（b+2）x+c=0的两个实数根为1、3，

且a＜0；

∴1+3=-①，1×3=②；

即c=3a，b=-4a-2；

又∵方程ax2+bx+c+6a=0有两个相等的根，

∴△=b2-4a•（c+6a）=0，

即（-4a-2）2-4a•（3a+6a）=0，

化简得5a2-4a-1=0，

解得a=1（不合题意，舍），a=-；

∴b=-2=-，c=-；

（2）∵函数y=ax2+bx+c=ax2-（4a+2）x+3a，

其最大值为正数，

∴＞0，

∴4a•3a-（4a+2）2＜0，

化简得a2+4a+1＞0，

解得a＞-2+，或a＜-2-，

∴a的取值范围是{a|a＜-2-，或-2+＜a＜0}．

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题型：简答题

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简答题

已知关于x的不等式（a2-4）x2+（a+2）x-1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．

正确答案

解：∵a2-4=0时，a=±2，

∴当a=2时，不等式化为4x-1≥0，其解集为{x|x≥}，不满足题意；

当a=-2时，不等式化为-1≥0，显然不成立，其解集为∅，满足题意；

当a≠±2时，应满足，

即，

解得，

即-2＜a＜；

综上，实数a的取值范围是{a|-2≤a＜}．

解析

解：∵a2-4=0时，a=±2，

∴当a=2时，不等式化为4x-1≥0，其解集为{x|x≥}，不满足题意；

当a=-2时，不等式化为-1≥0，显然不成立，其解集为∅，满足题意；

当a≠±2时，应满足，

即，

解得，

即-2＜a＜；

综上，实数a的取值范围是{a|-2≤a＜}．

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