- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
已知实数m使x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立，
（1）求实数m的范围D；
（2）求f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域．
正确答案
（1）若x2-4mx+2m+30＞0对一切x∈R成立，
则△=（-4m）2-4（2m+30）＜0
解得-
即D=（-
（2）当m∈（-
当m∈（1，3）时，f（m）=（m+3）（1+|m-1|）=（m+3）m=m2+3m=（m+
故f（m）=（m+3）（1+|m-1|）（m∈D）的值域为（
已知二次函数f（x）=ax2-4x+c．若f（x）＜0的解集是（-1，5）
（1）求实数a，c的值；
（2）求函数f（x）在x∈[0，3]上的值域．
正确答案
（1）由f（x）＜0，得：ax2-4x+c＜0，
不等式ax2-4x+c＜0的解集是（-1，5），
故方程ax2-4x+c=0的两根是x1=-1，x2=5．
所以
所以a=1，c=-5．
（2）由（1）知，f（x）=x2-4x-5=（x-2）2-9．
∵x∈[0，3]，f（x）在[0，2]上为减函数，在[2，3]上为增函数．
∴当x=2时，f（x）取得最小值为f（2）=-9．
而当x=0时，f（0）=（0-2）2-9=-5，当x=3时，f（3）=（3-2）2-9=-8
∴f（x）在[0，3]上取得最大值为f（0）=-5．
∴函数f（x）在x∈[0，3]上的值域为[-9，-5]．
设函数f（x）=
（1）若a=-1，b=2，c=3，则D=______，A=______；
（2）若所有点（s，t）（s∈D，t∈A）构成正方形区域，则a的值为______．
正确答案
（1）将a=-1，b=2，c=3代入得：f（x）=
∵-x2+2x+3≥0，即（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，即D=[-1，3]；
（2）设函数u=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标为：x1，x2，x1＜x2，
∵s为定义域的两个端点之间的部分，
就是[x1，x2]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）max]，
且所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区，
∴|x1-x2|=
∵|x1-x2|=
∴
∴a=-4．
故答案为：（1）[0，+∞）；[-1，3]；（2）-4
函数f(x)=
正确答案
∵f(x)=
∴x2+x-2≥0
解得x∈（-∞，-2]∪[1，+∞）
故答案为：（-∞，-2]∪[1，+∞）
已知函数f（x）=
正确答案
当m=0时，f（x）=
当m＜0时，f（x）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；
当m＞0时，f（x）的被开方数是二次函数，△≥0，
即（m-3）2-4m≥0，∴m≤1或 m≥9，
综上，0≤m≤1或 m≥9，
∴实数m的取值范围是：[0，1]∪[9，+∞）；
故答案为[0，1]∪[9，+∞）．
若函数y=
正确答案
由题意函数y=
由题设条件，此方程一定有根，y=0时显然成立
当y≠0时，必有△≥0，即（y-a）2+4y（b+y）≥0
整理得5y2-（2a-4b）y+a2≥0
又函数y=
∴
∴
解得a=1，b=-1或a=-1，b=-2
答：a=1，b=-1或a=-1，b=-2
函数y=
正确答案
函数y=
解得{x|-1＜x＜0或0＜x＜2}，
所以函数y=
故答案为：（-1，0）∪（0，2）．
设二次函数f（x）=ax2-4x+c（a＞0）．
（1）若f（1）=0，解不等式f（x）≥0；
（2）若f（x）的值域为[0，+∞），且f（1）≤4，则u=
正确答案
解（1）∵f（1）=0，∴a-4+c=0，c=4-a，（1分）
∴不等式f（x）≥0即ax2-4x+c＞0，即a（x-1）（x-
①a＞2时，
②a=2时，
③0＜a＜2时，
综上所述，不等式的解集为：a＞2时，不等式的解集为（-∞，
a=2时，不等式的解集为R；
0＜a＜2时，
（2）f（x）的值域为[0，+∞），故
又0≤f（1）≤4，即0≤a-4+c≤4，
所以4≤a+c≤8（10分）
u=
由y=t-
若函数y=
正确答案
由ax2-ax+
该不等式等价于
解出0＜a≤2．故实数a的取值范围为（0，2]．
设函数f（x）=|2x+1|-|x-2|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）若∀x∈R，f(x)≥t2-
正确答案
（1）f(x)=
当x＜-
当-
当x≥2，x+3＞2，x＞-1，∴x≥2
综上所述 {x|x＞1或x＜-5}．----------------------（5分）
（2）由（1）得f(x)min=-
则只需f(x)min=-
综上所述
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