热门试卷

（Ⅰ）证：∵f（x）=ax2+2bx+c

∴f（1）=a+2b+c=0

又a＜b＜c∴4a＜a+2b+c＜4c

即4a＜0＜4c∴a＜0，c＞0

（Ⅱ） 由（1）得：c=-a-2b代入a＜b＜c

结合a＜0知：-＜＜1…（2）

将c=-a-2b代入at2+2bt+c=-a得at2+2bt-2b=0，

即方程ax2+2bx-2b=0有实根，

故△=4b2+8ab≥0∴()2+2()≥0 ∴≤-2或≥0…（3）

联立（2）（3）知0≤＜1

所以，所求的取值范围是[0，1）

（Ⅰ）当a=时，方程x2+x+1=0的△=1-4a=0，

则不等式x2+x+1＞0的解为：{x|x≠-2}；

当a∈（0，]时，方程ax2+x+1=0的△=1-4a＞0，∴方程的解是x=，

ax2+x+1＞0的解集为：{x|x＞或x＜}，

综上，不等式f（x）＞0的解集：{x|x＞或x＜}，

（Ⅱ）∵方程f（x）=0至少有一个负根，

∴方程f（x）=0有一个负根或有两个负根，

当a=0时，方程变为x+1=0，得x=-1，故符合题意；

当a≠0时，方程的两个根设为：x1，x2，

则或

解得，a＜0或0＜a≤，

综上得，a的取值范围是：（-∞，]．

（1）∵f（x）=x|x-a|，

∴不等式f（x）＜x即为x|x-a|＜x

10显然x≠0，

20当x＞0时原不等式可化为：|x-a|＜1⇒-1＜x-a＜1⇒a-1＜x＜a+1

当a-1≥0即a≥1时得不等式的解为：a-1＜x＜a+1

当a-1＜0即0＜a＜1时得不等式的解为：0＜x＜a+1

30当x＜0时原不等式可化为：|x-a|＞1⇒x-a＞1或x-a＜-1⇒x＞a+1或x＜a-1

当a≥1时，得不等式的解为x＜0

当0＜a＜1时，得不等式的解为：x＜a-1

综上得：当a≥1时，原不等式的解集为{x|x＜0}∪{x|a-1＜x＜a+1}

当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a-1}∪{x|0＜x＜a+1}

（2）∵对∀x∈（0，1]都有f（x）＜m，显然m＞0

即-m＜x（x-a）＜m⇒对∀x∈（0，1]，-＜x-a＜恒成立⇒对∀x∈（0，1]，x-＜a＜x+恒成立

设g（x）=x-，x∈（0，1]，p（x）=x+，x∈（0，1]

则对∀x∈（0，1]，x-＜a＜x+恒成立⇔g（x）max＜a＜p（x）min，x∈（0，1]

∵g（x）'=1+，当x∈（0，1]时g（x）'＞0

∴函数g（x）在（0，1]上单调递增，∴g（x）max=1-m

又∵p（x）'=1-=，

当≥1即m≥1时，对于x∈（0，1]，p（x）'＜0

∴函数p（x）在（0，1]上为减函数，

∴p（x）min=p（1）=1+m

当＜1，即0＜m＜1时，

当x∈(0，]，p（x）'≤0

当x∈(，1]，p（x）'＞0

∴在（0，1]上，p(x)min=p()=2

（或当0＜m＜1时，在（0，1]上，p（x）=x+≥2=2，当x=时取等号）

又∵当0＜m＜1时，要g（x）max＜a＜p（x）min即1-m＜a＜2还需满足2＞1-m解得3-2＜m＜1

∴当3-2＜m＜1时，1-m＜a＜2；

当m≥1时，1-m＜a＜1+m．

（1）令t=log2t，则x=2t，

∴g（t）=（2t）2-=（2t）2-•2t，即g（x）=（2x）2-•2t．

当a=1时，不等式g（x）＜8，即（2x）2-2•2x-8＜0．

∴2x＜4，解得x＜2．

∴不等式g（x）＜8的解集是{x|x＜2}．

（2）①由题意，-=，即a=2（t2-4t+3）=2（t-2）2-2，

由t∈[1，4]，得a∈[-2，6]．

②由题意，(2x)2-•2x＜8在x∈（-∞，a]上恒成立．

即＞2x-在x∈（-∞，a]上恒成立．

令μ=2x，则μ∈（0，2a]，∴＞μ-．

∵函数h(μ)=μ-在（0，2a]上为增函数，

∴hmax(μ)=h(2a)=2a-，

∴＞2a-，解得2a＜2，

∴a＜log22．

综合①②，符合条件的实数a的取值范围是{a|-2≤a＜log22}．

∵9x-12•3x+27≤0，∴（3x-3）•（3x-9）≤0，即3≤3x≤9，得1≤x≤2，

∴y=（log2x-1）（log 12212+log 122x）=（log2x-1）（log2x+）

∴令t=log2x，则0≤t≤1，

y=t2-t-= (t-

1

4

)2-，

∴当t=1，即x=2时，y取得最大值0；

当t=，即x=时，y取得最小值-．

解：（1）由，知

∴，

又恒成立，即恒成立，

故，

将代入，得，即，

即lgb=1，故b=10，a=100。

（2）因为

所以，，即，

∴，

解得：-4＜x＜1，

∴不等式的解集为。

（1）由题意可得不等式f（x）＞2的解集为{x|x＜-3或x＞1}，

即不等式ax2+bx-3＞0的解集为{x|x＜-3或x＞1}，

∴-3和1是方程ax2+bx-3=0的两根，∴

解得，∴f（x）=x2+2x-1=（x+1）2-2

∴x∈[-2，3）时，f（x）min=f（-1）=-2，f（x）＜f（3）=14

∴求f（x）在区间[-2，3）的值域为：[-2，14）

（2）由（1）知，g（x）=x2+2x-1-kx=x2+（2-k）x-1

∴g（x）的图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=

若函数g（x）[-1，1]上是单调函数，则

≤-1或≥1，解得k≤0，或k≥4

故实数k的取值范围为k≤0，或k≥4