- 一元二次不等式及其解法
- 共4411题
x＞0，y＞0，且
正确答案
∵∴x+2y=（x+2y）（
当且仅当4×
∵x+2y≥m2-2m-6恒成立，
∴m2-2m-6≤2，求得-2≤m≤4，
故答案为：-2≤m≤4．
已知f（x）=tanx-cos（x+m）为奇函数，且m满足不等式m2-3m-10＜0，则m的值为______．
正确答案
因为f（x）为奇函数，所以f（0）=0，即cosm=0，
解得m=kπ+
由m2-3m-10＜0，解得-2＜m＜5②，
由①②可知m=-
故答案为：-
若对任意x∈R，不等式x2≥2ax-1恒成立，则实数a的取值范围是______．
正确答案
不等式x2≥2ax-1恒成立，即不等式x2-2ax+1≥0恒成立．∵x2的系数1＞0，∴△=4a2-4≤0，即a2≤1，解得a∈[-1，1]．
故答案为：[-1，1]．
若不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，则a的取值范围是______．
正确答案
∵不等式x2+ax+4≥0对一切x∈（0，1]恒成立，
a≥-(x+
∴a≥a（x）max∵函数a(x)=-(x+
故a（x）在x=1时取得最大值-5，
故答案为：a≥-5
已知关于x的不等式x2-4x-m＜0的非空解集为{x|n＜x＜5}
（1）求实数m和n的值
（2）求不等式loga（-nx2+3x+2-m）＞0的解集．
正确答案
（1）由题意得：n和5是方程x2-4x-m=0的两个根（2分）
（2）1°当a＞1时，函数y=logax在定义域内单调递增
由loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得x2+3x-3＞1（2分）
即 x2+3x-4＞0
x＞1 或 x＜-4（1分）
2°当0＜a＜1时，函数 y=logax在定义域内单调递减
由：loga（-nx2+3x+2-m）＞0
得：
即
-4＜
∴当a＞1时原不等式的解集为：（-∞，-4）∪（1，+∞），
当0＜a＜1时原不等式的解集为：（-4
求实数m的范围，使y=lg[mx2+2（m+1）x+9m+4]对任意x∈R恒有意义．
正确答案
由题意知mx2+2（m+1）x+9m+4＞0的解集为R，
则
解得m＞
函数y=lg（-x2+5x+24）的值小于1，则x的取值范围为______．
正确答案
由已知得lg（-x2+5x+24）＜1，考察相应函数的单调性知
0＜-x2+5x+24＜10
由 0＜-x2+5x+24得-3＜x＜8
由-x2+5x+24＜10得x＞7，或x＜-2
故有x∈（-3，-2）∪（7，8）
故应填（-3，-2）∪（7，8）
设函数f（x）=ax-（1+a2）x2，其中a＞0，区间I={x|f（x）＞0}
（Ⅰ）求I的长度（注：区间（a，β）的长度定义为β-α）；
（Ⅱ）给定常数k∈（0，1），当1-k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．
正确答案
（Ⅰ）因为方程ax-（1+a2）x2=0（a＞0）有两个实根x1=0，x2=
故f（x）＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}，
因此区间I=（0，
（Ⅱ）设d（a）=
令d′（a）=0，得a=1，由于0＜k＜1，
故当1-k≤a＜1时，d′（a）＞0，d（a）单调递增；当1＜a≤1+k时，d′（a）＜0，d（a）单调递减，
因此当1-k≤a≤1+k时，d（a）的最小值必定在a=1-k或a=1+k处取得，
而
因此当a=1-k时，d（a）在区间[1-k，1+k]上取得最小值
不等式9log3x-7log49x2-12＞0的解集为______．
正确答案
根据指数、对数的运算法则和性质，原不等式即为32log3x-72log49x-12＞0
进一步化为：3log3x2-49log49x-12＞0
即 x2-x-12＞0，且x＞0
解得x＞4 （x＜-3舍去）
∴解集为（4，+∞）
故答案为：（4，+∞）
已知全集I=R，若函数f（x）=x2-3x+2，集合M={x|f（x）≤0}，N={x|f′（x）＜0}，则M∩∁IN=______．
正确答案
由x2-3x+2≤0，解得1≤x≤2，∴M={x|1≤x≤2}．
f′（x）=2x-3＜0，解得x＜
∴N={x|x＜
∴ClN={x|x≥
∴M∩∁IN={x|
故答案为{x|
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